(CEDERJ 2023.2)  Considere as sentenças I, II e III, a seguir:

I     (x-2)² = x² - 2²
II    9x : 3 = 3x
III  1 - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)

Quantas são verdadeiras para todo número real "x"?

(A) Nenhuma delas (B) Apenas uma delas (C) Duas delas (D) Todas são verdadeiras

Solução: questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.2,  prova aplicada no dia 18/06/2023.

Nesta questão, vamos utilizar alguns produtos notáveis.  Analisando cada afirmativa do enunciado:

I     (x-2)² = x² - 2²  

Para todo número real "x", essa afirmativa é falsa, pois sabemos que

(x - 2)² = x² - 2.x.2 + 2² = x² - 4x + 4

Ou também que

x² - 2² = (x + 2)(x - 2)

II    9x : 3 = 3x

Para todo número real "x", essa afirmativa é falsa, desenvolvendo a equação exponencial, podemos perceber isso

9x : 3 = 3x
9x  = 3 . 3x
(32)x  = 31 . 3x
32x  = 3x+1

Para todo número real x ela é falsa.

Embora não seja o objetivo da questão, nós podemos obter um valor para x que satisfaz essa equação, a título de exercício.  Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais.  Vamos igualar os expoentes.

2x = x + 1
2x - x = 1
x = 1  é a única solução.

III  1 - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)

Esta sentença é a única verdadeira para todo número real "x", pois sabemos que

(a³ - b³) = (a - b) (a² + ab + b²)

Neste produto notável, se você trocar a por 1 e b por x, terá exatamente a sentença do enunciado.

Alternativamente, caso você não se lembrasse desse produto notável, poderia fazer o desenvolvimento do segundo membro da equação, vejamos:

1 - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)
1 - x³ = 1 + x + x² - x - x² - x³
1 - x³ = 1 - x³

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do CEDERJ.

Um forte abraço e bons estudos.