( UFPR 2025 )  No plano cartesiano, considere os pontos P = (2 a , 0) e Q = ( a +1, a -1), sendo a um número real positivo. Sabendo que a distância entre  P  e Q é igual a √8 cm, assinale a alternativa que corresponde ao valor de a . A) 1/2 B) √3 C) 1 D) 2 E) 3 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Na geometria analítica, podemos calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano por meio da fórmula da distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) que é dada por: d =  √ (x2-x1)² + (y2-y1)² √8  = √ (a+1-2a)² + (a-1-0)² √8  = √ (1-a)² + (a-1)² 8 = (1-a)² + (a-1)² A partir de agora, é possível desenvolver os produtos notáveis. Entretanto, vamos adotar o seguinte caminho: sabemos que 1-a = -1 · (a-1) = -(a-1)   Vamos fazer essa substituição: 8 = [ -(a-1) ]² + (a-1)² 8 =...

( ESA 2024 )  Que número deve ser adicionado a 2022 2 para obter 2023 2 ?  A) 4045 B) 4043 C) 4042 D) 4048 E) 4044 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2023 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2024 – 25 . Prova aplicada em 08/10/2023. Vamos escrever esse problema usando a seguinte equação: 2022 2  + x = 2023 2 Nosso objetivo é encontrar quanto vale x.  Além disso, vamos substituir 2023 por 2022 + 1. 2022 2  + x = (2022 + 1) 2 Neste quadro, vamos desenvolver passo a passo o segundo membro da igualdade, usando o seguinte produto notável: (a + b) 2  = a 2  + 2ab + b 2 Vamos trocar a por 2022 e b por 1. (2022 + 1) 2  = 2022 2  + 2(2022)(1) + 1 2 (2022 + 1) 2  = 2022 2  + 4044 + 1 (2022 + 1) 2  = 2022 2  + 4045 Continuando: 2022 2  + x = (2022 + 1) 2 2022 2  + x = 2022 2  + 4045 2022 2   + x = 2022...

(EEAR CFS 2/2024)  Se o polinômio A(x) = x 3 + mx + n é divisível pelo polinômio B(x) = x 2 + x + 1, com m e n números reais, então o produto de m por n é _____. a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2024 .  Prova aplicada em 19/11/2023. Uma forma de resolver essa questão é dividir A(x) por B(x).  O resultado da divisão será um quociente igual a (x-1) e um resto igual a (mx + n + 1).  Como A(x) é divisível por B(x), então o resto tem que ser igual a 0, logo m = 0 E também n + 1 = 0 n = -1 E o produto 0·(-1) = 0 Alternativa correta é a letra a). Uma outra alternativa de resolução é a seguinte: o polinômio A(x) tem grau 3, logo possui 3 raízes complexas contando multiplicidades.  Como o grau 3 é ímpar, então pelo menos uma dessas raizes é real.  Analisando B(x), podemos notar que suas duas raízes são complexa...

(CEDERJ 2023.2)   Considere as sentenças I, II e III, a seguir: I     (x-2)² = x² - 2² II    9 x : 3 = 3 x III  1 - x³ = (1 - x)(1 + x + x²) Quantas são verdadeiras para todo número real "x"? (A) Nenhuma delas (B) Apenas uma delas (C) Duas delas (D) Todas são verdadeiras Solução:  questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.2,  prova aplicada no dia 18/06/2023. Nesta questão, vamos utilizar alguns  produtos notáveis .  Analisando cada afirmativa do enunciado: I     (x-2)² = x² - 2²   Para  todo  número real "x", essa afirmativa é falsa , pois sabemos que (x - 2)² = x² - 2.x.2 + 2² = x² - 4x + 4 Ou também que x² - 2² = (x + 2)(x - 2) II    9 x  : 3 = 3 x Para  todo  número real "x", essa afirmativa é  falsa , desenvolvendo a equação exponencial , podemos perceber isso 9 x  : 3 = 3 x 9 x   = 3 . 3 x (3 2 ) x   = 3 1  . 3 x 3 2...

(EPCAR 2024)  Considere o polinômio P(x) = x 8 + x 7 − 64x 2 − 64x e os polinômios abaixo relacionados:  A(x) = x 2 − 4 C(x) = x 3 + 8 F(x) = x 3 + 2x 2 + 4x W(x) = x 2 − 2x + 4 Dos polinômios relacionados, pode-se afirmar que  a) todos dividem P(x). b) nenhum divide P(x). c) apenas A(x) e F(x) dividem P(x). d) apenas C(x) e W(x) dividem P(x). Solução:  questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar)  -  Exame de Admissão ao CPCAR 2024  (prova aplicada no dia 02/07/2023). Para verificar, por exemplo, se A(x) divide P(x), ou seja, verificar se P(x) é divisível por A(x), vamos fatorar os dois polinômios e analisar se todos os fatores de A(x) estão presentes em P(x). Para realizar a fatoração de polinômios (também conhecida como fatoração polinomial), em alguns casos, vamos utilizar produtos notáveis . Vamos iniciar pelo polinômio P(x). x 8  + x 7  − 64x 2  − 64x x ( x 7  + x 6  − 64x − ...

(EPCAR 2023)  Sejam x e y dois números reais tais que 0 < x < y < 1 então é correto afirmar, necessariamente, que Solução:  questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar)  -  Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022). Em primeiro lugar, vamos simplificar as expressões de A e B. >> Simplificando A: A = (x/2) . (1/5) A = x / 10 >> Simplificando B: Agora, vamos analisar cada alternativa de resposta, a parte mais interessante dessa questão: a)  10 A . B > 1 10 (x/10) . y² > 1 x . y² > 1   Falsa, pois sabemos que o produto entre números compreendidos entre 0 e 1 sempre resulta em um número entre 0 e 1.  Como x e y são números compreendidos entre 0 e 1, o produto  x . y . y não será maior do que 1. b)  10 A +  √B > 1 10 (x/10) + √y² > 1 x + y > 1 Falsa, pois a soma de x + y não necessariamente é maior do que 1.  Por exemplo,...

(EPCAR 2023)  O produto das raízes da equação na incógnita a, com a≠ ±4 , é igual a a) 40/3   b) 40   c) 10/3   d) 18 Solução:  questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar)  -  Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022). Em primeiro lugar, vamos multiplicar os dois lados da equação pelo MMC dos polinômios dos denominadores.  Para calcular o MMC, vamos escrever os três polinômios na forma fatorada.  Sabemos que  a² - 16 = (a+4)(a-4) a² - 8a + 16 = (a-4)² Para calcular o MMC de  [ (a+4)(a-4) ;  (a-4)  ; (a-4)² ] fazemos o produto entre todos os diferentes fatores comuns, conservando para cada fator o maior expoente que apareceu. Os fatores comuns são (a+4) e (a-4), note que o maior expoente em (a+4) é igual a 1.  Já o maior expoente em (a-4) é igual a 2.  Sendo assim,  MMC = (a+4)¹ . (a-4)² MMC = (a+4)(a-4)² Ou também, você pode ...

(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ)   A expressão é um número inteiro k . A soma dos algarismos de k é igual a: A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 18 Solução:  questão de matemática da  Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015. Uma questão de matemática onde precisamos resolver uma expressão numérica utilizando produtos notáveis. Sabemos que  x² - y² = (x + y) (x - y) Sendo assim, temos que 3 12 - 2 12 = (3 6 + 2 6 ) (3 6 - 2 6 ) Também podemos visualizar que  3 6  - 2 6  = (3 3  + 2 3 ) (3 3  - 2 3 ) Isto quer dizer que 3 12  - 2 12  = (3 6  + 2 6 ) (3 3  + 2 3 ) (3 3  - 2 3 ) Fazendo essa substituição, poderemos simplificar a expressão numérica inicial. Note que a expressão numérica agora se reduz a apenas  (3 3  - 2 3 ).  Este valor é bem mais fácil de calcularmos: k = (3 3  - 2 3 ) k = 27 - 8 k = 19 A soma dos algarismos d...

(EPCAR 2019)  Considere o conjunto de todos os valores de m e n para os quais a expressão algébrica A, abaixo, está definida. Nesse conjunto, uma expressão algébrica equivalente a A é a) m² + n² b) m² - n²  c) m² + n²      m² - n²  d)  m² + n²       m - n  Solução:  questão de matemática da  EPCAR 2019,  que envolve manipulações com produtos notáveis, frações, potenciação e MMC de polinômios.  Vamos dividir a expressão A em 3 partes e desenvolvê-las separadamente, conforme a figura a seguir: >>> Parte I Vamos obter o MMC entre n² e m² para efetuarmos a subtração das frações.  O MMC entre n² e m² vale n²m², isto porque eles não possuem nenhum termo em comum, logo o MMC será dado pelo produto entre ambos. m² . m² - n² . n²        n²m²  m 4 - n 4       n².m²       Utilizando produtos notáveis, podemos substituir (m 4  - n 4 ...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões de matemática sobre produtos notáveis. As questões são provenientes de provas anteriores de matemática de vestibulares, concursos públicos para professores de matemática e carreiras militares para você que está se preparando para exames neste ano. Recomendamos que você reserve um tempo, resolva toda a  lista de exercícios resolvidos de produtos notáveis  e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso na sua preparação. Exercícios de Produtos Notáveis Exercício 1 -  (IME 2021) Considere que a ≠ 0, b ≠ 0 e (a + b) ≠ 0. Sabendo-se que (a/b) + (b/a) = 3, determine o valor de a) 0,1   b) 0,3   c) 0,6   d)  0,8   e) 1,0 >> Link para a solução da questão Exercício 2 -   (Fuvest 2020)  Se 3x² - 9x + 7 = (x-a)³ - (x-b)³, para todo número real x, o valor de a + b é a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 12 >> Link par...

(EsPCEx 2021)  Considere a função p :ℝ→ℝ dada por p(x) = x 5  - 5x 4 + 10x 3  - 10x 2 + 5x - 1 e a função q :ℝ→ℝ onde q (x) = p(x - 2000). O valor numérico de q (2021) é igual a [A] 2.021.000 [B] 2.021.320 [C] 3.200.000 [D] 3.202.021 [E] 4.084.101  Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021. Perceba que  (x - 1) 5  = x 5  - 5x 4  + 10x 3  - 10x 2  + 5x - 1 Sendo assim,  p(x) = (x - 1) 5  . Será mais fácil trabalharmos com p(x) neste formato. O objetivo é encontrar o valor de q (2021), sabemos que q (x) = p(x - 2000) q (2021) = p(2021 - 2000) q (2021) = p(21) Vamos aplicar x = 21 em p(x). p(x) = (x - 1) 5 p(21) = (21-1) 5  = (20) 5   = (2 .10) 5 = 2 5  . 10 5  = 32 . (100 000) = 3.200.000 Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da...

(FAMEMA 2022) Sendo x um número real sabe-se que sin x  + cos x  = 0,8. O valor de sin³ x + cos³ x é: [Obs: sin x  é o seno do número x e cos x é o cosseno do número x .] (A) 0,848. (B) 0,866. (C) 0,896. (D) 0,912. (E) 0,944. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021. Para resolver essa questão de identidades trigonométricas, vamos utilizar produtos notáveis: a³ + b³ = (a+b) (a² -ab +b²) sin³x + cos³x = (sinx + cosx) (sin²x - sinx cosx + cos²x) Sabemos que sin²x+ cos²x = 1 sin³x + cos³x = 0,8 (1 - sinx cosx ) Podemos obter o valor de sinx cosx usando o produto notável  (a+b)² = a² + 2ab + b² (sin x  + cos x)²  = (0,8)² sin²x  + 2 sinx cosx +  cos²x  = 0,64 1  + 2 sinx cosx = 0,64 2 sinx cosx = 0,64 - 1 2 sinx cosx = -0,36 sinx cosx = -0,18 Continuando sin³x + cos³x = 0,8 [1 - (-0,18)] sin³x + cos³x = 0,8 (1,18...

(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) Sejam m e n as raízes da equação x² – 2x + k = 0 onde k é um número real diferente de zero. Se 1/m² + 1/n² = 6,  a soma dos possíveis valores de k é igual a: a) -1/3   b) -1   c) 0   d) 2/3   e) 2 Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015.  Para facilitar a resolução desta questão sobre equações do segundo grau, vamos utilizar as relações de Girard e produtos notáveis. Primeiramente, vamos desenvolver a expressão: 1/m² + 1/n² = 6 (n² + m²)/m².n² = 6 (n² + m²)/(m.n)² = 6 Das relações de Girard, temos: Soma das raízes.  m+n = -b/a = - (-2)/1  m+n = 2 Produto das raízes.  m.n = c/a = k/1  m.n = k Dos produtos notáveis, temos que:  (m+n)² = m² + 2.m.n + n² m² + n² = (m+n)² - 2.m.n m² + n² = (2)² - 2.k m² + n² = 4 - 2k Agora, vamos aplicar os ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Ao resolver a equação 6445² + 3x = 6446², encontraremos para x um número inteiro tal que a soma dos seus algarismos é igual a: a) 14  b) 18  c) 22  d) 26  e) 28 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2020. Para resolvê-la utilizaremos os produtos notáveis. 6445² + 3x = 6446² 3x = 6446² - 6445²  3x = (6445+1)² - 6445²  3x = (6445² + 2 .6445. 1 + 1²) - 6445²  3x = 6445² + 12890 + 1 - 6445²  3x = 12891  x = 4297 A soma dos algarismos de X vale 4 + 2 + 9 + 7 = 22.  Alternativa correta é a letra c). Outra forma de resolver esta questão usando o produto notável (x+y)(x-y) = x² - y²        3x = 6446² - 6445²  3x = (6446 + 6445)(6446 - 6445) 3x = (12891)(1) 3x = 12891 x = 4297 Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Concurso de Aprendizes Marinheiros. Um forte a...

(IME 2021) Considere que a ≠ 0, b ≠ 0 e (a + b) ≠ 0. Sabendo-se que (a/b) + (b/a) = 3, determine o valor de a) 0,1   b) 0,3   c) 0,6   d)  0,8   e) 1,0 Solução:  nesta questão de matemática do IME 2020/2021 vamos fazer operações com o produto notável (a+b)².  Desenvolvendo a primeira equação: (a/b) + (b/a) = 3 (a² + b²) / (a.b) = 3 a² + b² = 3ab    [Eq. I] Além, disso, sabemos que no produto notável (a+b)² temos o seguinte desenvolvimento: (a+b)² = a² + 2ab + b² a² + b² = (a+b)² - 2ab  [Eq. II] Igualando Eq. I  e  Eq. II. 3ab = (a+b)² - 2ab (a+b)²  = 5ab  [Eq. III] Vamos agora trabalhar na razão do enunciado: a² + b² /  2 (a+b)² Vamos aplicar no denominador a Eq. I e no numerador a Eq. III. (3ab) / (2 . 5ab) = 3/10 = 0,3. Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática resolvidas do IME. Um forte abraço e bons e...

(EPCAR 2021) Sejam a e b, {a,b} ⊂ IR , as raízes da equação x² + 2√3 x + 1 = 0  É correto afirmar que é igual a a) 12²  b) 12³   c) 12 5   d) 12 4 Solução: questão de álgebra onde utilizaremos as Relações de Girard em uma equação do segundo grau .  É importante ter atenção nas variáveis para não se confundir. Seja uma equação do segundo grau a.x² + b. x + c = 0, a qual possui as raízes x1 e x2, temos que x1+x2 = -b/a     ( A soma das raízes vale -b/a) x1.x2 = c/a        (O produto das raízes vale c/a) Aplicando essas relações (novamente, atenção nas variáveis) a + b = -2√3 a . b = 1 Já a² + b² pode ser encontrado por meio do seguinte artifício. (a+b)² = a² + 2.a.b + b² (-2√3)² = a² + b² + 2.1 12 - 2 = a² + b² a² + b² = 10 Agora, basta resolver a operação [ (1 / -2√3)  -1 ]  10 [-2√3]  10 2 10 . 3 5 2 5  .2 5 . 3 5 [2.2.3] 5 12 5   Alternativa correta é a letra C. Confira mai...

(Fuvest 2020) Se 3x² - 9x + 7 = (x-a)³ - (x-b)³, para todo número real x, o valor de a + b é a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 12 Solução:  vamos resolver essa questão desenvolvendo os produtos notáveis da parte direita da equação. Sabemos que  (x-a)³ = x³- 3x²a + 3x a²  - a³ Da mesma forma  (x-b)³ =  x³- 3x²b + 3x b²  - b³ Substituindo na equação 3x² - 9x + 7 = (x-a)³ - (x-b)³  3x² - 9x + 7 =  x³- 3x²a + 3xa² - a³ - ( x³- 3x²b + 3xb² - b³ ) 3x² - 9x + 7 =  x³- 3x²a + 3xa² - a³  -x³ + 3x²b - 3xb² + b³  3x² - 9x + 7 =  -3x²a + 3xa² - a³   + 3x²b - 3xb² + b³   3x² - 9x + 7 =   x² ( -3a + 3b ) + x ( 3a² - 3b²  )  + ( b³ - a³ ) Agora basta igualar os coeficientes nos dois lados da equação e teremos um sistema de 3 equações 3 = - 3a + 3b -9 = 3a² - 3b² 7 = b³ - a ³ Da equação 1 temos que: 3 = -3a + 3b 1 = b -a b = a +1 Da equação 2 temos que  -9 ...

(Concurso Docente I - Matemática - Prefeitura de Maricá - 2018 - Banca: COSEAC - UFF) Se (x,y) é uma solução do sistema x.y = 7 x²y + xy² + x + y = 80 O valor de x² + y² a) 100 b) 14 c) 84 d) 76 e) 86 Solução:   vamos substituir a primeira equação na segunda. x.x.y + x.y.y + x + y = 80 x.7 + 7.y + x + y = 80 8x + 8y = 80 x +y = 10 Agora utilizaremos produtos notáveis (x+y)² = x² + 2.x.y + y² x² + y² = (x+y)² - 2.x.y x² + y² = (10)² - 2.7 x² + y² = 100 - 14 x² + y² = 86 Alternativa correta é a letra E. Um forte abraço e bons estudos!

(Concurso Docente I - Matemática - Prefeitura de Maricá - 2018 - Banca: COSEAC - UFF)   Sendo x 1  e x 2  as raízes da equação x² - px + q = 0, o valor de x 1 ² + x 2 ² em função de p e q, é: a)  x 1 ² + x 2 ²  = p + q b)  x 1 ² + x 2 ²  = p² - 2q c)  x 1 ² + x 2 ²  = pq d)  x 1 ² + x 2 ²  = p² + q² e)  x 1 ² + x 2 ²  = p - 2q² Solução: questão bem interessante da última prova para professor de matemática no município de Maricá no Estado do Rio de Janeiro. Nesta questão devemos utilizar as relações de Girard na equação do segundo grau ax² + bx + c = 0.  Sendo x1 e x2 as  raízes da equação do segundo grau x² - px + q = 0, então: x 1  + x 2  = -b/a = p/1 = p x 1  . x 2   =  c/a = q/1 = q Sabemos então que x 1  + x 2  = p x 1  .  x 2   = q Agora precisamos lembrar dos produtos notáveis (a+b)² = a² + 2ab + b². Olha só agora que bacana: ( ...