(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) Sejam m e n as raízes da equação x² – 2x + k = 0 onde k é um número real diferente de zero. Se 1/m² + 1/n² = 6,  a soma dos possíveis valores de k é igual a:

a) -1/3   b) -1   c) 0   d) 2/3   e) 2

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015.  Para facilitar a resolução desta questão sobre equações do segundo grau, vamos utilizar as relações de Girard e produtos notáveis. Primeiramente, vamos desenvolver a expressão:

1/m² + 1/n² = 6
(n² + m²)/m².n² = 6
(n² + m²)/(m.n)² = 6


Das relações de Girard, temos:

Soma das raízes. 
m+n = -b/a = - (-2)/1 
m+n = 2

Produto das raízes. 
m.n = c/a = k/1 
m.n = k

Dos produtos notáveis, temos que: 
(m+n)² = m² + 2.m.n + n²
m² + n² = (m+n)² - 2.m.n
m² + n² = (2)² - 2.k
m² + n² = 4 - 2k

Agora, vamos aplicar os valores obtidos na expressão fornecida pelo enunciado:

(n² + m²)/(m.n)² = 6
(4 - 2k )/ (k)² = 6
4-2k = 6 k²
6k² + 2k - 4 = 0 
3k² + k - 2 = 0 

Δ = 1² - 4.(3).(-2)
Δ = 1 + 24 = 25
√Δ = 5

k = (-1 ± 5)/6
k1 = (-1 + 5)/6 = 4/6 = 2/3
k2 = (-1 - 5)/6 = -6/6 = -1

Por último, basta somar: 2/3 + (-1) = -1/3.

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Equações Polinomiais do 2º e 3º Grau usando as relações de Girard.

Um forte abraço e bons estudos.