(SEEDUC-RJ 2015 - Banca CEPERJ) Sejam m e n as raízes da equação x² – 2x + k = 0 onde k é um número real diferente de zero. Se 1/m² + 1/n² = 6, a soma dos possíveis valores de k é igual a:
(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) Sejam m e n as raízes da equação x² – 2x + k = 0 onde k é um número real diferente de zero. Se 1/m² + 1/n² = 6, a soma dos possíveis valores de k é igual a:
a) -1/3 b) -1 c) 0 d) 2/3 e) 2
Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro. Banca organizadora CEPERJ, 2015. Para facilitar a resolução desta questão sobre equações do segundo grau, vamos utilizar as relações de Girard e produtos notáveis. Primeiramente, vamos desenvolver a expressão:1/m² + 1/n² = 6
(n² + m²)/m².n² = 6
(n² + m²)/(m.n)² = 6
Das relações de Girard, temos:
Soma das raízes.
m+n = -b/a = - (-2)/1
m+n = 2
Produto das raízes.
m.n = c/a = k/1
m.n = k
Dos produtos notáveis, temos que:
Dos produtos notáveis, temos que:
(m+n)² = m² + 2.m.n + n²
m² + n² = (m+n)² - 2.m.n
m² + n² = (2)² - 2.k
m² + n² = 4 - 2k
Agora, vamos aplicar os valores obtidos na expressão fornecida pelo enunciado:
(n² + m²)/(m.n)² = 6
(4 - 2k )/ (k)² = 6
4-2k = 6 k²
6k² + 2k - 4 = 0
3k² + k - 2 = 0
Δ = 1² - 4.(3).(-2)
Δ = 1 + 24 = 25
√Δ = 5
k = (-1 ± 5)/6
k1 = (-1 + 5)/6 = 4/6 = 2/3
k2 = (-1 - 5)/6 = -6/6 = -1
Por último, basta somar: 2/3 + (-1) = -1/3.
Alternativa correta é a letra a).
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Equações Polinomiais do 2º e 3º Grau usando as relações de Girard.
Um forte abraço e bons estudos.