(EPCAR 2024) Considere o polinômio P(x) = x8 + x7 − 64x2 − 64x e os polinômios abaixo relacionados: 

A(x) = x2 − 4
C(x) = x3 + 8
F(x) = x3 + 2x2 + 4x
W(x) = x2 − 2x + 4

Dos polinômios relacionados, pode-se afirmar que 

a) todos dividem P(x).
b) nenhum divide P(x).
c) apenas A(x) e F(x) dividem P(x).
d) apenas C(x) e W(x) dividem P(x).

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2024 (prova aplicada no dia 02/07/2023).

Para verificar, por exemplo, se A(x) divide P(x), ou seja, verificar se P(x) é divisível por A(x), vamos fatorar os dois polinômios e analisar se todos os fatores de A(x) estão presentes em P(x).

Para realizar a fatoração de polinômios (também conhecida como fatoração polinomial), em alguns casos, vamos utilizar produtos notáveis. Vamos iniciar pelo polinômio P(x).

x8 + x7 − 64x2 − 64x
x ( x7 + x6 − 64x − 64)
Agora, vamos simplesmente reorganizar
x ( x7 − 64x + x6 − 64)
x [ x (x6 − 64) + x6 − 64]
Agora, vamos simplesmente reescrever
x [ x (x6 − 64) + (x6 − 64) . 1]
x [ (x6 − 64) (x + 1) ]
Reorganizando
x ( x + 1) (x6 − 64)
Podemos notar que 64 = 26
x ( x + 1) (x6 − 26)

Agora, vamos trabalhar somente com o fator x6 − 26
Podemos reescrever:

(x3)2 - (23)2

Agora, vamos utilizar o produto notável
a² - b² = (a + b) (a - b)

(x3)2 - (23)2  =  (x3 + 23) (x3 - 23)

Novamente, vamos utilizar produtos notáveis, são eles:

a³ + b³ = (a + b) (a²  - ab + b²)
a³  - b³ = (a  - b) (a² + ab + b²)

x3 + 23  = (x + 2) (x²  - 2x + 4)
x3   - 23 = (x  - 2) (x² + 2x + 4)

Assim, temos que 

P(x) = x ( x + 1) (x6 − 26)
P(x) = x (x + 1)(x + 2)(x²  - 2x + 4)(x  - 2)(x² + 2x + 4)

 Agora, vamos fatorar os polinômios a seguir:

  • A(x) = x2 − 4
A(x) = (x+2)(x - 2)

Podemos notar que P(x) é divível por A(x), isto porque (x+2)(x-2) são fatores presentes em P(x).

Se você dividir P(x) por A(x) a divisão será exata.

x(x + 1)(x + 2)(x² -2x + 4)(x  - 2)(x² +2x + 4)
(x+2) (x - 2)


  • C(x) = x3 + 8

Não precisamos nem decompor este polinômio, pois (x³ + 8) é um fator em P(x), basta verificar na etapa em que fizemos 

(x6 − 26) = (x3 + 23) (x3 - 23)

Note que o (x3 + 23) é o mesmo que x3 + 8

Podemos concluir que P(x) é divisível por C(x).

  • F(x) = x3 + 2x2 + 4x
x (x² +2x + 4)

Podemos notar que P(x) é divisível por F(x).

  • W(x) = x2 − 2x + 4
E finalmente, também podemos concluir que P(x) é divisível por W(x).

Alternativa correta é a letra a) todos dividem P(x).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.