(FAMEMA 2022) Sendo x um número real sabe-se que sin x  + cos x  = 0,8.

O valor de sin³ x + cos³ x é:

[Obs: sin x  é o seno do número x e cos x é o cosseno do número x .]

(A) 0,848. (B) 0,866. (C) 0,896. (D) 0,912. (E) 0,944.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021.

Para resolver essa questão de identidades trigonométricas, vamos utilizar produtos notáveis:

a³ + b³ = (a+b) (a² -ab +b²)

sin³x + cos³x = (sinx + cosx) (sin²x - sinx cosx + cos²x)
Sabemos que sin²x+ cos²x = 1
sin³x + cos³x = 0,8 (1 - sinx cosx)

Podemos obter o valor de sinx cosx usando o produto notável  (a+b)² = a² + 2ab + b²

(sin x  + cos x)²  = (0,8)²
sin²x + 2 sinx cosx + cos²x = 0,64
1 + 2 sinx cosx = 0,64
2 sinx cosx = 0,64 - 1
2 sinx cosx = -0,36
sinx cosx = -0,18

Continuando

sin³x + cos³x = 0,8 [1 - (-0,18)]
sin³x + cos³x = 0,8 (1,18)
sin³x + cos³x = 0,944

Alternativa correta é a letra e).


Uma segunda sugestão de resolução:

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

sin x  + cos x  = 0,8
(sin x  + cos x)³ = (0,8)³
sin³ x + 3sin²x cosx + 3sinx cos²x + cos³x = 0,8³
Sabemos que sin²x+ cos²x = 1 e portanto sin²x = 1 - cos²x e também cos²x = 1 - sin²x
sin³ x + 3(1 - cos²x)cosx + 3sinx (1 - sin²x) + cos³x = 0,8³
sin³ x + 3(cosx - cos³x) + 3(sinx - sin³x) + cos³x = 0,8³
sin³ x + 3cosx - 3cos³x + 3sinx - 3sin³x + cos³x = 0,8³
-2sin³ x - 2cos³x + 3cosx + 3sinx = 0,8².0,8
-2(sin³x + cos³x)+ 3(sinx+cosx) = 0,64 . 0,8
-2(sin³x + cos³x)+ 3(0,8) = 0,64 . 0,8
-2(sin³x + cos³x) = 0,64 . 0,8 - 3 . 0,8
 -2(sin³x + cos³x) = -2,36 . 0,8
sin³x + cos³x = (2,36 . 0,8) / 2
sin³x + cos³x = 1,18 . 0,8  **repare que já fizemos essa mesma conta no método anterior
sin³x + cos³x = 0,944


Vamos ver uma terceira forma de resolvermos essa questão de identidades trigonométricas:

sin³x + cos³x
sin²x . sinx + cos²x . cosx
(1-cos²x)sinx + (1-sin²x).cosx

sinx - cos²x sinx + cosx - sin²x.cosx
sinx - cosx cosx sinx + cosx - sinx sinx cosx

Já sabemos que sinx cosx = -0,18

sinx - cosx ( -0,18) + cosx - sinx ( -0,18)
sinx + 0,18 cosx + cosx + 0,18 sinx
1,18 sinx + 1,18 cosx
1,18(sinx + cosx)
1,18 (0,8)   **repare que já fizemos essa mesma conta nos métodos anteriores
0,944

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da FAMEMA.

Um forte abraço e bons estudos.