(EEAR CFS 2/2024) Se o polinômio A(x) = x3 + mx + n é divisível pelo polinômio B(x) = x2 + x + 1, com m e n números reais, então o produto de m por n é _____.

a) 0 b) 1 c) -1 d) -2

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2024.  Prova aplicada em 19/11/2023.

Uma forma de resolver essa questão é dividir A(x) por B(x).  O resultado da divisão será um quociente igual a (x-1) e um resto igual a (mx + n + 1).  Como A(x) é divisível por B(x), então o resto tem que ser igual a 0, logo

m = 0

E também

n + 1 = 0
n = -1

E o produto 0·(-1) = 0

Alternativa correta é a letra a).

Uma outra alternativa de resolução é a seguinte: o polinômio A(x) tem grau 3, logo possui 3 raízes complexas contando multiplicidades.  Como o grau 3 é ímpar, então pelo menos uma dessas raizes é real.  Analisando B(x), podemos notar que suas duas raízes são complexas.  Como A(x) é divisível por B(x), então podemos escrever: 

A(x) = a.(x - R)(x² + x + 1)

Sendo, a =1 o coeficiente que multiplica x³ e R é a raiz real de A(x), vamos desenvolver A(x)

A(x) = (x - R)(x² + x + 1)
A(x) = x³ + x² + x - Rx² - Rx - R
A(x) = x³ + (1-R)x² + (1-R)x - R

De acordo com o enunciado, o coeficiente que multiplica x² vale 0, logo, podemos igualar

1-R = 0
R = 1   "esse é o valor da raiz real de A(x)"

Vamos reescrever A(x) trocando R por 1.

A(x) = x³ + (1-1) x² + (1-1) x - 1
A(x) = x³ - 1

E assim, temos que m = 0 e n = -1

Curiosidade:  

x3 - 1 = x3 - 13

Da disciplina produtos notáveis:

(a3 - b3) = (a - b) (a2 + ab + b2)

Vamos trocar a por x e b por 1.

(x3 - 13) = (x - 1) (x2 + x.1 + 12)
(x3 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1)

Igual ao polinômio A(x) desta questão

A(x) = (x - 1) (x2 + x + 1) = x3 - 1

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.