(EPCAR 2023) O produto das raízes da equação

na incógnita a, com a≠ ±4 , é igual a

a) 40/3   b) 40   c) 10/3   d) 18

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022).

Em primeiro lugar, vamos multiplicar os dois lados da equação pelo MMC dos polinômios dos denominadores.  Para calcular o MMC, vamos escrever os três polinômios na forma fatorada.  Sabemos que 
  • a² - 16 = (a+4)(a-4)
  • a² - 8a + 16 = (a-4)²
Para calcular o MMC de  [ (a+4)(a-4) ;  (a-4)  ; (a-4)² ] fazemos o produto entre todos os diferentes fatores comuns, conservando para cada fator o maior expoente que apareceu.

Os fatores comuns são (a+4) e (a-4), note que o maior expoente em (a+4) é igual a 1.  Já o maior expoente em (a-4) é igual a 2.  Sendo assim, 

MMC = (a+4)¹ . (a-4)²
MMC = (a+4)(a-4)²

Ou também, você pode calcular conforme fazemos no cálculo de MMC de números.

(a+4)(a-4) ;  (a-4)  ;  (a-4)²    |  (a+4)
            (a-4) ;  (a-4)  ;  (a-4)²    |  (a-4)
                  1  ;          1  ;  (a-4)      |  (a-4) 
                  1  ;          1  ;          1      |    

MMC = (a+4)(a-4)(a-4)
MMC = (a+4)(a-4)²

Agora, vamos multiplicar os dois lados da equação por ele.



3a² - 4a - 12a + 16 = a² - 16 - (2a + 8 - a² - 4a)
3a² - 4a - 12a + 16 = a² - 16  - 2a - 8 + a² + 4a
3a² - 4a - 12a + 16  -a² + 16  + 2a +  8 - a² - 4a = 0
a² - 18a + 40 = 0

Note que 4 e -4 não são raízes dessa equação do segundo grau.  Finalmente, vamos obter o produto de suas raízes (r1 e r2) por meio da expressão:  

r1 . r2 = c / a

Neste momento, atenção, pois estamos diante de uma equação do segundo grau  na incógnita "a", cuidado para não confundir a incógnita com o coeficiente "a" .  Sabemos que esta equação do segundo grau possui os coeficientes:

a = 1
b = -18
c = 40

r1 . r2 = 40 / 1
r1 . r2 = 40 

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.