(EPCAR 2023) O produto das raízes da equação (...) na incógnita a, com a≠ ±4 , é igual a
(EPCAR 2023) O produto das raízes da equação
na incógnita a, com a≠ ±4 , é igual a
a) 40/3 b) 40 c) 10/3 d) 18
Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022).
Em primeiro lugar, vamos multiplicar os dois lados da equação pelo MMC dos polinômios dos denominadores. Para calcular o MMC, vamos escrever os três polinômios na forma fatorada. Sabemos que
- a² - 16 = (a+4)(a-4)
- a² - 8a + 16 = (a-4)²
Para calcular o MMC de [ (a+4)(a-4) ; (a-4) ; (a-4)² ] fazemos o produto entre todos os diferentes fatores comuns, conservando para cada fator o maior expoente que apareceu.
Os fatores comuns são (a+4) e (a-4), note que o maior expoente em (a+4) é igual a 1. Já o maior expoente em (a-4) é igual a 2. Sendo assim,
MMC = (a+4)¹ . (a-4)²
MMC = (a+4)(a-4)²
Ou também, você pode calcular conforme fazemos no cálculo de MMC de números. (a+4)(a-4) ; (a-4) ; (a-4)² | (a+4) (a-4) ; (a-4) ; (a-4)² | (a-4) 1 ; 1 ; (a-4) | (a-4) 1 ; 1 ; 1 | MMC = (a+4)(a-4)(a-4) MMC = (a+4)(a-4)² |
Agora, vamos multiplicar os dois lados da equação por ele.
3a² - 4a - 12a + 16 = a² - 16 - 2a - 8 + a² + 4a
3a² - 4a - 12a + 16 -a² + 16 + 2a + 8 - a² - 4a = 0
a² - 18a + 40 = 0
Note que 4 e -4 não são raízes dessa equação do segundo grau. Finalmente, vamos obter o produto de suas raízes (r1 e r2) por meio da expressão:
r1 . r2 = c / a
Neste momento, atenção, pois estamos diante de uma equação do segundo grau na incógnita "a", cuidado para não confundir a incógnita com o coeficiente "a" . Sabemos que esta equação do segundo grau possui os coeficientes:
a = 1
b = -18
c = 40
r1 . r2 = 40 / 1
r1 . r2 = 40
Alternativa correta é a letra b).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.
Um forte abraço e bons estudos.