(ENEM 2023) Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez. Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

(ENEM 2023) Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez. 

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X? 

A) 2 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18

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Solução: questão de matemática do ENEM 2023,  prova aplicada no dia 12/11/2023.

Podemos notar que a população de larvas cresce em progressão geométrica PG.

A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias, isto quer dizer que a razão q da PG vale 10.

Além disso, o agricultor vai iniciar esse método com 100 larvas, ou seja, o primeiro termo a₁ da PG vale 100, vamos trabalhar com potências de 10, de modo que a₁ = 10².

Podemos escrever os primeiros termos dessa PG: 

{10² ; 10² x 10 = 10³;  10³  x 10 = 10⁴; ....}

Agora, vamos descobrir qual é o último termo dessa PG.  O enunciado nos informa que o agricultor dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas.  Isto quer dizer que 5 litros de X irá eliminar um total de 

5 x 200 000 = 1 000 000  de larvas

Para manter os números em potências de 10, vamos trocar 1 milhão por 10⁶ que é o último termo da PG.  Vamos escrevê-la até esse limite, uma vez que a quantidade de termos é bem pequena.

{10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶} 

Podemos notar que a população inicial de 10² será multiplicada 4 vezes pela razão 10 até atingir a população limite de 10⁶.  Logo, a quantidade de dias é de 4 x 3 = 12 dias.

Alternativa correta é a letra d).

Você também pode resolver essa questão utilizando uma equação exponencial:

10² x 10^k = 10⁶

Já é possível visualizar que k tem que valer 4, ele representa a quantidade de vezes que a população inicial de 10² tem que ser multiplicada por 10 até atingir o valor de 10⁶.  

Para resolver o produto 10² x 10^k nós repetimos a base 10 e somamos os expoentes.

10^2+k = 10⁶
2 + k = 6
k = 6 - 2
k = 4

Agora, basta multiplicar 4 por 3 e teremos 12 dias.

Também é possível resolver essa questão fazendo contas passo a passo, uma vez que a quantidade de dias é relativamente pequena.

inicou com 100 larvas

+ 3 dias) Passou a ter 100 x 10 = 1 000

+ 3 dias) Passou a ter 1000 x 10 = 10 000

+ 3 dias) Passou a ter 10 000 x 10 = 100 000

+ 3 dias) Passou a ter 100 000 x 10 = 1 000 0000 (aplica 5 litros de X)

Total 3 + 3 + 3 + 3 = 12 dias.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.