(FUVEST 2024) Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.

Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/.

A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?

(A) 26 (B) 27 (C) 28 (D) 29 (E) 30

Note e adote:

log10 2 = 0,3
Solução: questão de matemática da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2024, prova aplicada no dia 19/11/2023.

Analisando as informações do enunciado, há uma forte possibilidade de, ao longo dessas etapas, as medidas dos lados dos novos quadrados formarem uma PG (progressão geométrica) decrescente, vamos verificar isso.

Na etapa 1, o lado do quadrado vale 1 cm.
Na etapa 2, podemos obter a medida dos lados dos novos quadrados usando o Teorema de Pitágoras.

L² + L² = 1²
2L² = 1
L² = 1/2
L = 1/(√2)
Vamos racionalizar essa fração por (√2)/(√2)
L =   1  *  √2     
        √2     √2
L = (√2)/2  cm

Na etapa 3, vamos aplicar o mesmo raciocínio.



L² + L² = [(√2)/2]²
2L² = 2/4
L² = 1/4
L = 1/2

As medidas dos lados dos quadrados das etapas 1, 2 e 3 são:

{1, (√2)/2,  1/2}

Podemos notar que

a2/a1 = a3/a2 = razão da PG

(√2)/2  =   (1/2)  = (√2)/2
     1             (√2)/2

Ou seja, o primeiro termo da PG é a1 = 1 e a razão q = (√2)/2

Vamos utilizar a fórmula do n-ésimo termo da PG.

an = a1 . qn-1
an = 1 . [(√2)/2]n-1
an = [(√2)/2]n-1

O objetivo da questão é encontrar a partir de qual etapa da construção, o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1.  Este valor é igual a 

10-4 x 1 cm = 10-4 cm

A seguir, vamos encontrar em qual etapa n o valor do lado do novo quadrado será igual a 10-4 cm.  Obs: vamos trabalhar com o sinal de igualdade e no final analisaremos o resultado encontrado.

[(√2)/2]n-1 = 10-4

Aplicando log10  nos dois lados da igualdade.

log10 [(√2)/2]n-1 = log10 10-4
(n - 1) . log10 [(√2)/2] = -4 . log10 10
(n - 1) . [log10 (√2) - log10 2] = -4 . 1
(n - 1) . [log10 2(1/2) - 0,3] = -4
(n - 1) . [(1/2).log10 2 - 0,3] = -4
(n - 1) . [(1/2).0,3 - 0,3] = -4
(n - 1) . [0,15 - 0,3] = -4
(n - 1) . [-0,15] = -4
-0,15 n + 0,15 = -4
-0,15 n = -4,15
n = -4,15/-0,15
n ≅ 27,6

Encontramos n ≅ 27,6 , essa etapa não existe, pois as etapas são números inteiros.  A PG é decrescente, conforme as etapas vão aumentando, o valor do lado do novo quadrado vai diminuindo, isto quer dizer que da etapa 27 para a etapa 28 o valor do lado diminuiu. Na etapa 27, o lado do novo quadrado valia mais do que 10-4 cm e já na etapa 28 passou a valer, pela primeira vez, menos do que 10-4 cm.

Alternativa correta é a letra (C) 28.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.