(FUVEST 2024) Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída
por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado
1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do
quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados
seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo
isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da
Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos
quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova
etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos
quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras
etapas da construção da Árvore Pitagórica.
Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/.
A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos
novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do
que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?
(A) 26
(B) 27
(C) 28
(D) 29
(E) 30
Note e adote:
log10 2 = 0,3
Solução: questão de matemática da Prova de Conhecimentos Gerais -
FUVEST 2024, prova aplicada no dia 19/11/2023.
Analisando as informações do enunciado, há uma forte possibilidade de, ao longo dessas etapas, as medidas dos lados dos novos quadrados formarem uma PG (progressão geométrica) decrescente, vamos verificar isso.
Na etapa 1, o lado do quadrado vale 1 cm.
Na etapa 2, podemos obter a medida dos lados dos novos quadrados usando o Teorema de Pitágoras.
L² + L² = 1²
2L² = 1
L² = 1/2
L = 1/(√2)
Vamos racionalizar essa fração por (√2)/(√2)
L = 1 * √2
√2 √2
L = (√2)/2 cm
Na etapa 3, vamos aplicar o mesmo raciocínio.
L² + L² = [(√2)/2]²
2L² = 2/4
L² = 1/4
L = 1/2
As medidas dos lados dos quadrados das etapas 1, 2 e 3 são:
{1, (√2)/2, 1/2}
Podemos notar que
a2/a1 = a3/a2 = razão da PG
(√2)/2 = (1/2) = (√2)/2
1 (√2)/2
Ou seja, o primeiro termo da PG é a1 = 1 e a razão q = (√2)/2
Vamos utilizar a fórmula do n-ésimo termo da PG.
an = a1 . qn-1
an = 1 . [(√2)/2]n-1
an = [(√2)/2]n-1
O objetivo da questão é encontrar a partir de qual etapa da construção, o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1. Este valor é igual a
10-4 x 1 cm = 10-4 cm
A seguir, vamos encontrar em qual etapa n o valor do lado do novo quadrado será igual a 10-4 cm. Obs: vamos trabalhar com o sinal de igualdade e no final analisaremos o resultado encontrado.
[(√2)/2]n-1 = 10-4
Aplicando log10 nos dois lados da igualdade.
log10 [(√2)/2]n-1 = log10 10-4
(n - 1) . log10 [(√2)/2] = -4 . log10 10
(n - 1) . [log10 (√2) - log10 2] = -4 . 1
(n - 1) . [log10 2(1/2) - 0,3] = -4
(n - 1) . [(1/2).log10 2 - 0,3] = -4
(n - 1) . [(1/2).0,3 - 0,3] = -4
(n - 1) . [0,15 - 0,3] = -4
(n - 1) . [-0,15] = -4
-0,15 n + 0,15 = -4
-0,15 n = -4,15
n = -4,15/-0,15
n ≅ 27,6
Encontramos n ≅ 27,6 , essa etapa não existe, pois as etapas são números inteiros. A PG é decrescente, conforme as etapas vão aumentando, o valor do lado do novo quadrado vai diminuindo, isto quer dizer que da etapa 27 para a etapa 28 o valor do lado diminuiu. Na etapa 27, o lado do novo quadrado valia mais do que 10-4 cm e já na etapa 28 passou a valer, pela primeira vez, menos do que 10-4 cm.
Alternativa correta é a letra (C) 28.
