(ESA 2025) Observe o polinômio abaixo:

𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)𝑛

Qual o valor do número natural 𝑛 para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7


Solução: questão de matemática (polinômios) da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024.

Para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729, é necessário que p(1) = 729.

𝑝(1) = (1³ + 2∙1² + 3∙1 − 3)𝑛² ∙ (1² + 1 + 1)𝑛 = 729
(1 + 2 + 3 − 3)𝑛² ∙ (3)𝑛 = 729
(3)𝑛² ∙ (3)𝑛 = 729
3𝑛²+n   = 729

Precisamos resolver uma equação exponencial, sabemos que 729 = 36  , vamos fazer essa substituição, pois assim teremos os dois lados da igualdade com a mesma base.

3𝑛²+n  = 36

Como as bases são iguais, então igualamos os expoentes.

n² + n = 6

Agora, precisamos resolver uma equação do segundo grau, nesta questão, o enunciado estabelece que n é um número natural e temos as opções de resposta que podem nos ajudar a encontar n mais rapidamente, inclusive fazendo os cálculos de cabeça.  

n = 1, temos 1² + 1 = 6  Falso
n = 2, temos 2² + 2 = 6 Verdadeiro.

Os outros casos serão falsos.

Portanto, n = 2

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.