(ESA 2025) Observe o polinômio abaixo: 𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)^𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)^𝑛 Qual o valor do número natural 𝑛 para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?
(ESA 2025) Observe o polinômio abaixo:
𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)𝑛
Qual o valor do número natural 𝑛 para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7
Solução: questão de matemática (polinômios) da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26. Prova aplicada em 15/09/2024.
Para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729, é necessário que p(1) = 729.
𝑝(1) = (1³ + 2∙1² + 3∙1 − 3)𝑛² ∙ (1² + 1 + 1)𝑛 = 729
(1 + 2 + 3 − 3)𝑛² ∙ (3)𝑛 = 729
(3)𝑛² ∙ (3)𝑛 = 729
3𝑛²+n = 729
Precisamos resolver uma equação exponencial, sabemos que 729 = 36 , vamos fazer essa substituição, pois assim teremos os dois lados da igualdade com a mesma base.
3𝑛²+n = 36
Como as bases são iguais, então igualamos os expoentes.
n² + n = 6
Agora, precisamos resolver uma equação do segundo grau, nesta questão, o enunciado estabelece que n é um número natural e temos as opções de resposta que podem nos ajudar a encontar n mais rapidamente, inclusive fazendo os cálculos de cabeça.
n = 1, temos 1² + 1 = 6 Falso
n = 2, temos 2² + 2 = 6 Verdadeiro.
Os outros casos serão falsos.
Portanto, n = 2
Alternativa correta é a letra b).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.
Um forte abraço e bons estudos.