(VUNESP 2022) Um vídeo postado na internet no 1º dia do ano obteve, nesse dia (t=1), 800 likes e 100 dislikes.

Estima-se que nos próximos dias (t = 2, 3, 4, ...) haverá um aumento diário de 10% nos likes acumulados e um aumento diário de 4,5% nos dislikes acumulados. Tais estimativas são válidas até o momento em que a razão entre dislikes e likes seja aproximadamente 1/40, o que ocorrerá no valor inteiro de t mais próximo de 

(A) log0,950,12.
(B) log0,950,19.
(C) log0,050,19.
(D) log1,051,9.
(E) log0,050,12.

Solução: questão de matemática do Vestibular da UNESP 2022 (Cursos da Área de Biológicas), prova do dia 14/11/2021.

Uma questão muito interessante de matemática da disciplina equações exponenciais envolvendo propriedades de potências e propriedades dos logaritmos.  Vamos resolvê-la passo a passo.

Perceba que tanto likes quanto dislikes irão crescer exponencialmente nos próximos dias, até que dislikes/likes = 1/40 (aproximadamente).

Vamos obter uma expressão para likes em função do número t de dias, ou seja, like(t).

Likes iniciam com 800 em t=1 e crescem 10% ao dia.  Lembre-se: quando um número cresce 10% é o mesmo que multiplicar esse número por (1 + 0,10) = 1,10.
t = 2 os likes serão 1,10 x 800
t = 3 os likes serão 1,10 x 1,10 x 800 = 1,10² x 800
t= 4 os likes serão 1,10 x 1,10² x 800 = 1,10³ x 800

Repare que a quantidade de likes em função de t dias pode ser expressa da seguinte forma:

likes(t) = 800 . (1,10)t-1  

Analogamente, a expressão para dislikes(t) será

dislikes(t) = 100 . (1,045)t-1 

Agora, precisamos encontrar t de modo que

dislikes(t) / likes(t) = 1/40

100 . (1,045)t-1  / 800 . (1,10)t-1   = 1 / 40
(1,045)t-1/ (1,10)t-1   = 8 / 40

Das propriedades de potências, temos que

(a/b)n = an / bn

(1,045 / 1,10)t-1 = 1 / 5
(0,95)t-1 = 0,20

Sabemos que

ax = b é equivalente a logab = x   

Sendo assim:

t-1 =  log0,950,20
t = log0,950,20 + 1
t = log0,950,20 + log0,950,95

Das propriedades dos logaritmos, temos que

loga(b.c) = logab + logac

Sendo assim

t = log0,95(0,20 . 0,95)
t = log0,950,19

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Vestibular da UNESP.

Um forte abraço e bons estudos.