(IME 2020) Considere a função f(x) = √(x-a)  , x ≥ a, onde a é um número real positivo. Seja s a reta secante ao gráfico de f em ( 2a, f(2a) ) e ( 5a, f(5a) ) e t a reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta s.  A área do quadrilátero formado pela reta s, a reta t, a reta x=2a e a reta x=5a é √2 unidades de área.  O valor de a, em unidades de comprimento, é:

a) 2√2     b) 4    c) 2    d)  3√2    e) 2 3√4

Solução: nesta questão de matemática do IME, vamos utilizar o cálculo diferencial para encontrar o ponto de tangência da reta t em f(x) e a integral para o cálculo de área. Sendo assim, vamos adotar como estratégia calcular a área do paralelogramo usando a integral definida a seguir:


Onde t e s representam, respectivamente, as equações da reta tangente e da reta secante. Então, vamos obter as equações das retas: s e t.

>>> Obtendo s:

A reta s passa pelos pontos  (2a, √a) e (5a, 2√a), logo, tem coeficiente angular ms = (√a)/3a .

y-y0 = ms(x-x0)
y-√a = [(√a)/3a] (x-2a)
y =   [(√a)/3a] . x - (2/3).√a + √a
y =   [(√a)/3a] . x + (1/3) .√a

>>> Obtendo t:

A reta de t é paralela a s, logo o coeficiente angular mt = ms = (√a)/3a.

Podemos obter a coordenada x do ponto de tangência aplicando f ' (x) = (√a)/3a , onde f ' (x) é a derivada primeira de f(x).  Vamos derivar f(x) usando a regra da cadeia:

y = √(x-a) 
u(x) = x-a       ;  du/dx = 1
y = √u = u1/2  ;  dy/du = 1/2 . u (-1/2)  = 1 / (2√u)

dy/dx = dy/du . du/dx
dy/dx = 1 / (2√u) . 1
dy/dx = 1 / [2√(x-a)]

Agora vamos igualar: 
 1 / [ 2√ (x - a) ]  = (√a)/3a
3a =  √a .  2√ (x - a)
9a² = a . 4 . (x-a)
9a/4 = x-a
x = a + 9a/4
x = 13a/4   (x do ponto de tangência)

Aplicando x em f(x), encontraremos a coordenada y do ponto de tangência.

y = √ (13a/4 - a) 
y = √ (9a/4) = (3/2).√a  (y do ponto de tangência)

Agora basta obter a equação de t:

y-yo = mt (x-x0)
y-(3/2).√a =  [ (√a)/3a) ] . ( x - 13a/4 )
y = [(√a)/3a] . x + (5√a)/12

Como as retas possuem coeficientes angulares iguais, então a diferença entre suas equações será simplesmente a diferença entre os coeficientes lineares "b".

t - s = (5√a)/12 - (1/3).√a = (√a)/12.



[(√a)/12] .  (5a-2a) = √2
(3a√a)/12 = √2
(a√a)/4 = √2
a√a = 4.√2
a².a = 16.2
a³ = 2³.2²  [elevando os dois lados a 1/3]
a = 2 . 22/3
a = 2 3√4 . Alternativa correta é a letra E.

Curiosidade:  esta questão pode ser resolvida sem utilizar o método da integração, aplicando a fórmula da área de um paralelogramo: área = base x altura.  A base será a distância entre os pontos  que limitam a reta secante: (2a, √a) e (5a, 2√a).  Já a altura será a distância do ponto de tangência até a equação da reta da secante, onde será necessário aplicar a fórmula da geometria analítica da distância de um ponto a uma reta.  Entretanto, por meio da integral, os cálculos são mais simples.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do IME resolvidas.

Um forte abraço e bons estudos.