(IME 2020) Um polinômio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por x-2, x-3 e x-5 deixa restos 2, 3 e 5,
respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x-2)(x-3)(x-5) é:
(A) 1
(B) x
(C) 30
(D) x-1
(E) x-30
Solução: uma questão muito interessante sobre divisão de polinômios do IME (Instituto Militar de Engenharia) do exame de 2019/2020.
Ao dividirmos um polinômio P(x) por um divisor (x-2)(x-3)(x-5) teremos um quociente Q(x) e um resto R(x). Podemos escrever da seguinte maneira:
P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + R(x)
Analisando as opções de resposta, o resto do polinômio é do tipo R(x) = a.x + b, ajustando nossa equação polinomial:
P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + a.x+b
Além disso, foi informado que:
P(x) / (x-2) dá resto 2. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(2) = 2.
P(x) / (x-3) dá resto 3. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(3) = 3.
P(x) / (x-5) dá resto 5. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(5) = 5.
Aplicando na equação polinomial
P(2) = (2-2)(2-3)(2-5) . Q(2) + a.2+b
P(2) = 2a+b = 2
P(3) = (3-2)(3-3)(3-5) . Q(3) + a.3+b
P(3) = 3a + b = 3
P(5) = (5-2)(5-3)(5-5) . Q(5) + a.5+b
P(3) = 5a + b = 5
Ficamos com o seguinte sistema linear:
2a+b = 2 (equação I)
3a + b = 3 (equação II)
5a + b = 5 (equação III)
Vamos multiplicar a equação I por -1 e somar com a equação II.
3a - 2a + b - b = 3 - 2
a = 1
Aplicando (a=1) na equação 1
2.(1) + b = 2
b = 0
Finalmente,
R(x) = a.x + b
R(x) = 1.x + 0
R(x) = x [alternativa correta é a letra B]
Curiosidade: R(x) também poderia ser calculado pela forma R(x) = a.x² + b.x + c, ou seja, com grau 2, uma vez que este grau também é inferior ao grau 3 do divisor. Descartamos essa linha porque as opções de resposta já indicavam grau 2 ou 1. Por curiosidade, você pode resolver esse problema utilizando R(x) = a.x² + b.x + c, só que chegará num sistema maior, e ao final da resolução encontrará: a=0, b=1 e c=0. Sendo assim, R(x) = 0.x² + 1.x + 0 = x.
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios Resolvidos de Polinômios e Equações Polinomiais. Essa lista contém questões resolvidas sobre polinômios provenientes de vestibulares, concursos e carreiras militares.
Um forte abraço e bons estudos.
