(IME 2020) Um polinômio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por x-2, x-3 e x-5 deixa restos 2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x-2)(x-3)(x-5) é: 

(A) 1 (B) x (C) 30 (D) x-1 (E) x-30

Solução:  uma questão muito interessante sobre divisão de polinômios do IME (Instituto Militar de Engenharia) do exame de 2019/2020.

Ao dividirmos um polinômio P(x) por um divisor (x-2)(x-3)(x-5) teremos um quociente Q(x) e um resto R(x).  Podemos escrever da seguinte maneira:

P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + R(x)

Analisando as opções de resposta, o resto do polinômio é do tipo R(x) = a.x + b, ajustando nossa equação polinomial:

P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + a.x+b

Além disso, foi informado que:

P(x) / (x-2) dá resto 2. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(2) = 2.
P(x) / (x-3) dá resto 3. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(3) = 3.
P(x) / (x-5) dá resto 5. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(5) = 5.

Aplicando na equação polinomial

P(2) = (2-2)(2-3)(2-5) . Q(2) + a.2+b
P(2) = 2a+b = 2

P(3) = (3-2)(3-3)(3-5) . Q(3) + a.3+b
P(3) = 3a + b = 3

P(5) = (5-2)(5-3)(5-5) . Q(5) + a.5+b
P(3) = 5a + b = 5

Ficamos com o seguinte sistema linear:

2a+b = 2     (equação I)
3a + b = 3   (equação II)
5a + b = 5   (equação III)

Vamos multiplicar a equação I por -1 e somar com a equação II.

3a - 2a + b - b = 3 - 2
a = 1

Aplicando (a=1) na equação 1

2.(1) + b = 2
b = 0

Finalmente, 

R(x) = a.x + b
R(x) = 1.x + 0
R(x) = x  [alternativa correta é a letra B]

Curiosidade:  R(x) também poderia ser calculado pela forma R(x) = a.x² + b.x + c, ou seja, com grau 2, uma vez que este grau também é inferior ao grau 3 do divisor.  Descartamos essa linha porque as opções de resposta já indicavam grau 2 ou 1.  Por curiosidade, você pode resolver esse problema utilizando R(x) = a.x² + b.x + c, só que chegará num sistema maior, e ao final da resolução encontrará: a=0, b=1 e c=0.  Sendo assim, R(x) = 0.x² + 1.x + 0 = x. 

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios Resolvidos de Polinômios e Equações Polinomiais.  Essa lista contém questões resolvidas sobre polinômios provenientes de vestibulares, concursos e carreiras militares.

Um forte abraço e bons estudos.