(IME 2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo:

(IME 2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo: 

(A) [1,16000]
(B) [16001,17000]
(C) [17001,18000]
(D) [18001,19000]
(E) [19001, ∞)

Solução:  nesta questão de matemática do IME (Instituto Militar de Engenharia), teremos que calcular a quantidade de divisores de um número.  Primeiramente, vamos decompor 1800 em fatores primos.  Temos que 1800 = 2³.3².5². 

O número de divisores de 1800 é dado por (3+1).(2+1).(2+1) = 4.3.3 = 36 divisores.  

A decomposição de 36 é dada por 36 = 2.2.3.3.  

Queremos encontrar o número N, que é o menor número natural ímpar que também possui 36 divisores.  

Para ser ímpar, a decomposição de N não pode conter a base 2, apenas as bases 3, 5, 7, 11, ...

Poderíamos pensar em 3³⁵, que também possui 36 divisores, mas este número será enorme, existem outros menores.

Pense, por exemplo, em 3⁵.5⁵, também teria (5+1)(5+1) = 36 divisores, e este seria um número menor que o 3³⁵.

Percebe que quanto mais bases colocarmos, mais seremos beneficiados pelo efeito (expoente + 1) da fórmula da quantidade de divisores de um número, o que reduzirá o nosso número N?  

Sendo assim, vamos pensar da seguinte forma:  36 = 2 x 2 x 3 x 3. Se usarmos 4 bases ímpares teremos o menor número possível.  Vamos usar as 4 menores que conhecemos, são elas: 3, 5, 7 e 11.  Os expoentes aplicados a estas bases serão: 1, 1, 2 e 2.  Vamos aplicar os maiores expoentes, nas menores bases, contribuindo assim para reduzir o número final.

N = 3² . 5² . 7¹ . 11¹

N = 17 325

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do IME.

Um forte abraço e bons estudos.