(IME 2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo: 

(A) [1,16000]
(B) [16001,17000]
(C) [17001,18000]
(D) [18001,19000]
(E) [19001, ∞)

Solução:  nesta questão de matemática do IME (Instituto Militar de Engenharia), teremos que calcular a quantidade de divisores de um número.  Primeiramente, vamos decompor 1800 em fatores primos.  Temos que 1800 = 2³.3².5². 

O número de divisores de 1800 é dado por (3+1).(2+1).(2+1) = 4.3.3 = 36 divisores.  

A decomposição de 36 é dada por 36 = 2.2.3.3.  

Queremos encontrar o número N, que é o menor número natural ímpar que também possui 36 divisores.  

Para ser ímpar, a decomposição de N não pode conter a base 2, apenas as bases 3, 5, 7, 11, ...

Poderíamos pensar em 335, que também possui 36 divisores, mas este número será enorme, existem outros menores.

Pense, por exemplo, em 35.55, também teria (5+1)(5+1) = 36 divisores, e este seria um número menor que o 335.

Percebe que quanto mais bases colocarmos, mais seremos beneficiados pelo efeito (expoente + 1) da fórmula da quantidade de divisores de um número, o que reduzirá o nosso número N?  

Sendo assim, vamos pensar da seguinte forma:  36 = 2 x 2 x 3 x 3. Se usarmos 4 bases ímpares teremos o menor número possível.  Vamos usar as 4 menores que conhecemos, são elas: 3, 5, 7 e 11.  Os expoentes aplicados a estas bases serão: 1, 1, 2 e 2.  Vamos aplicar os maiores expoentes, na menores bases, contribuindo assim para reduzir o número final.

N = 3² . 5² . 7¹ . 11¹
N = 17 325
Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do IME.

Um forte abraço e bons estudos.