(IME 2020) Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica:

(IME 2020) Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica: 

Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números) 

Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números) 

Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números) 

Modelo 4: ABC1D23 (três letras seguidas de um número, uma letra e dois números) 

Sejam c1, c2, c3 e c4 as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os números c1, c2, c3 e c4 são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a maior razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é: 

(A) 11 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 19 

Observação: • considere o alfabeto com 26 letras.

Solução:  questão muito interessante que combina os temas análise combinatória, PA (Progressão aritmética) e MDC (Máximo Divisor Comum). Questão foi cobrada no exame de 2019/2020 do IME (Instituto Militar de Engenharia).

Vamos calcular os valores de c1 até c4.

c1 = 26² x 10³

c2 = 26² x 10⁴

c3 = 26³ x 10⁴
c4 = 26³ x 10 x 26 x 10²

Agora, vamos colocar estes números organizados em função de 26² x 10³ ( que é o MDC entre estes 4 termos).

c1 = 26² x 10³

c2 = 26² x 10³ x 10

c3 = 26² x 10³ x 26 x 10
c4 = 26² x 10³ x 26 x 26

Para simplificar os cálculos, vamos atribuir x = 26² x 10³

c1 = x

c2 = 10x

c3 = 260x

c4 = 26² x

O enunciado da questão informa que c1, c2, c3 e c4 são termos de uma PA, não necessariamente os termos 1, 2, 3 e 4 nesta ordem.  Além disso, ele quer a maior razão possível.  Sendo assim, vamos pensar em nossa PA

PA = {  .... , x, ........,  10x,................260x, .................26² x, ..........  } 

diferença:         (9x)            (250x)               (26.16 x)

A diferença entre qualquer um destes elementos em uma PA representa "n" vezes a razão dessa PA, com n sendo um número natural maior do que zero. O enunciado quer a maior razão possível, logo, vamos tirar o MDC entre essas diferenças, para chegarmos na maior razão possível.

Se necessário, confira neste artigo: como calcular o MMC e o MDC entre dois ou mais números. 

Obtendo o MDC entre 9x, 250x e 26.16 x chegaremos em apenas 1x.  Logo, nossa razão máxima vale 1x.

Razão = 1 . 26² x 10³ = 676.000

Somando 6 + 7 + 6 + 0 + 0 + 0 = 19. [alternativa correta é a letra E]

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões resolvidas sobre PA e PG.

Um forte abraço e bons estudos.