(UERJ 2017) Em uma atividade com sua turma, um professor utilizou 64 cartões, cada um com dois algarismos
x e y, iguais ou distintos, pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A imagem abaixo
representa um tipo desse cartão.
Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as seguintes operações em sequência:
I - multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5;
II - acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I;
III - multiplicou o total obtido em II por 2;
IV - somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III.
Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73.
O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja soma x + y é:
(A) 15
(B) 14
(C) 13
(D) 12
Solução: questão de matemática do
Vestibular UERJ 2017, prova do dia 16/10/2016 (2° Exame de Qualificação).
Uma questão muito interessante de raciocínio lógico, vamos resolvê-la passo a passo. Vamos considerar que o cartão tem os números XY e efetuar as operações feitas pelo aluno:
I - multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5;
* Como não especificou qual dos algarismos, então escolhemos o primeiro, ou seja, multiplicamos o X por 5, e teremos o seguinte resultado.
5 . X
II - acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I;
5X + 3
III - multiplicou o total obtido em II por 2;
2 . (5X + 3)
10X + 6
IV - somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III.
** O consecutivo de Y vale (Y+1).
10X + 6 + Y + 1
10X + Y + 7
Para facilitar nosso trabalho daqui pra frente, vamos re-estruturar a expressão acima da seguinte maneira:
10X + Y + 7
X + 9X + Y + 7
(X + Y) + 9X + 7
Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73.
Basta igualarmos a expressão acima ao número 73.
(X + Y) + 9X + 7 = 73
Vamos isolar o (X+Y)
(X + Y) = 73 - 7 - 9X
(X + Y) = 66 - 9X
Finalmente, chegamos a essa expressão e o objetivo da questão é saber qual é o valor de (X+Y). Agora, precisamos ter em mente que x e y são valores inteiros, compreendidos entre 1 e 8. Sendo assim, a soma (X+Y) no máximo vale (8 + 8) = 16 e no mínimo vale (1 + 1) = 2. De modo que:
2 ≤ (X+Y) ≤ 16
Vamos substituir (X+Y) por (66 - 9X) na inequação acima e encontrar os possíveis valores de X.
2 ≤ (66 - 9X) ≤ 16
2 ≤ 66 - 9X E 66 - 9X ≤ 16
9X ≤ 64 50 ≤ 9X
X ≤ 64/9 X ≥ 50/9
50/9 ≤ X ≤ 64/9
Atente para o fato de que X é inteiro positivo, sendo assim:
6 ≤ X ≤ 7
Ou seja, X só poderia assumir os valores 6 ou 7. Entretanto, temos que descartar X=7, pois veja a seguir o que acontece quando X=7:
(X + Y) = 66 - 9X = 66 - 9.7 = 66 - 63 = 3
Se X=7, a soma (X+Y) vale 3, e com isso o Y deveria valer -4, o que é inválido, pois já sabemos que o Y é positivo.
Então, só podemos ficar com X = 6 e o valor da soma (X+Y) será:
(X + Y) = 66 - 9X = 66 - 9 . 6 = 66 - 54 = 12. Alternativa correta é a letra d).
Curiosidade: sabendo que X = 6 e que a soma (X+Y) = 12, então Y tem que valer 6. Ou seja, o cartão do aluno tem o número 66. Vamos tirar uma prova real testando as operações feitas por ele.
I - multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5; 5 x 6 = 30 II - acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I; 30 + 3 = 33 III - multiplicou o total obtido em II por 2; 2 x 33 = 66 IV - somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III. O consecutivo de 6 é o 7. 66 + 7 = 73 Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73. (Correto) |
