(UERJ 2017) Em uma atividade com sua turma, um professor utilizou 64 cartões, cada um com dois algarismos x e y, iguais ou distintos, pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A imagem abaixo representa um tipo desse cartão.

Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as seguintes operações em sequência: 

I - multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5;
II - acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I;
III - multiplicou o total obtido em II por 2;
IV - somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III. 

Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73. 

O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja soma x + y é: 

(A) 15 (B) 14 (C) 13 (D) 12

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2017, prova do dia 16/10/2016 (2° Exame de Qualificação).

Uma questão muito interessante de raciocínio lógico, vamos resolvê-la passo a passo.  Vamos considerar que o cartão tem os números XY e efetuar as operações feitas pelo aluno:

I - multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5;

* Como não especificou qual dos algarismos, então escolhemos o primeiro, ou seja, multiplicamos o X por 5, e teremos o seguinte resultado.

5 . X

II - acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I;

5X + 3

III - multiplicou o total obtido em II por 2;

2 . (5X + 3)
10X + 6

IV - somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III. 

** O consecutivo de Y vale (Y+1).

10X + 6 + Y + 1
10X + Y + 7

Para facilitar nosso trabalho daqui pra frente, vamos re-estruturar a expressão acima da seguinte maneira:

10X + Y + 7
X + 9X + Y + 7
(X + Y) + 9X + 7

Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73. 

Basta igualarmos a expressão acima ao número 73.

(X + Y) + 9X + 7 = 73

Vamos isolar o (X+Y)

(X + Y) = 73 - 7 - 9X
(X + Y) = 66 - 9X

Finalmente, chegamos a essa expressão e o objetivo da questão é saber qual é o valor de (X+Y).  Agora, precisamos ter em mente que x e y são valores inteiros, compreendidos entre 1 e 8.  Sendo assim, a soma (X+Y) no máximo vale (8 + 8) = 16 e no mínimo vale (1 + 1) = 2.  De modo que:

2 ≤ (X+Y) ≤ 16

Vamos substituir (X+Y) por (66 - 9X) na inequação acima e encontrar os possíveis valores de X.

2 ≤ (66 - 9X) ≤ 16

2 ≤ 66 - 9X  E   66 - 9X ≤ 16
9X ≤ 64             50 ≤ 9X
X ≤ 64/9            X ≥ 50/9

50/9 ≤ X ≤ 64/9

Atente para o fato de que X é inteiro positivo, sendo assim: 

6 ≤ X ≤ 7

Ou seja, X só poderia assumir os valores 6 ou 7.  Entretanto, temos que descartar X=7, pois veja a seguir o que acontece quando X=7:

(X + Y) = 66 - 9X = 66 - 9.7 = 66 - 63 = 3

Se X=7, a soma (X+Y) vale 3, e com isso o Y deveria valer -4, o que é inválido, pois já sabemos que o Y é positivo.

Então, só podemos ficar com X = 6 e o valor da soma (X+Y) será:

(X + Y) = 66 - 9X = 66 - 9 . 6 = 66 - 54 = 12.  Alternativa correta é a letra d).

Curiosidade:  sabendo que X = 6 e que a soma (X+Y) = 12, então Y tem que valer 6.  Ou seja, o cartão do aluno tem o número 66. Vamos tirar uma prova real testando as operações feitas por ele.

I - multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5;

5 x 6 = 30

II - acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I;

30 + 3 = 33

III - multiplicou o total obtido em II por 2;

2 x 33 = 66

IV - somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III. 

O consecutivo de 6 é o 7.

66 + 7 = 73

Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73.   (Correto)


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.