(PAES UEMA - 2023) Energia Fotovoltaica é a energia elétrica produzida a partir de luz solar, com uso crescente por ser ambientalmente uma fonte de energia renovável. Veja o modelo ao lado. 

Considere um usuário que contratou um plano residencial de energia fotovoltaica (inclusos instalação e equipamentos), considerando a utilização de um gerador de 2,03 kwp, instalado em uma residência com consumo médio mensal de 186,3 kwh, cujo valor inicial do plano é R$ 15.818,78, com pagamento a ser feito, acrescido de juros compostos no prazo de 3 anos. Sabe-se que o montante a ser pago até o final do prazo corresponde ao dobro do valor inicial. 

Nestas condições, a taxa efetiva (%) anual, de acordo com os dados apresentados, é de 

a) 41,42 b) 44,22 c) 30,06 d) 25,99 e) 35,72

Solução: questão de matemática do PAES (Processo Seletivo de Acesso à Educação Superior) para UEMA (Universidade Estadual do Maranhão). Prova aplicada no dia 27/11/2022.

Para resolver essa questão de matemática financeira, vamos utilizar a fórmula dos juros compostos:

M = C(1 + i)t
  • i é a taxa anual que queremos descobrir
  • t é o número de períodos que é igual a 3
  • C é o valor inicial de R$ 15.818,78
  • M é o montante a ser pago que é o dobro do valor inicial, ou seja, vale R$ (2 x 15.818,78)
Aplicando estes valores na fórmula, temos:

2 x 15.818,78 = 15.818,78 ( 1 +  i)3
2 x 15.818,78 = 15.818,78 ( 1 +  i)3
2 = ( 1 +  i)3 
( 1 +  i)3 = 2
1 + i = 3√2
i =  3√2   -  1

Agora, aparece o desafio de obtermos a raiz cúbica de 2.  Se na hora da prova você soubesse que 

3√2 ≅  1,2599

Então você teria que

i =  3√2   - 1
i =  1,2599   - 1
i =  0,2599  = 25,99%
Alternativa correta letra (d)

E se não tivéssemos o valor de 3√2 ?

Precisaríamos testar as alternativas de resposta até encontrar a correta.  Mas vamos fazer isso realizando menos cálculos, utilizando alguns conceitos ligados a juros simples e juros compostos para eliminar algumas opções.  

A questão trabalha com o regime de capitalização de juros compostos, sabemos que se estivéssemos nos juros simples, para dobrar um capital inicial em 3 anos, ou seja, para adicionar ao capital inicial mais 100% dele, precisaríamos de uma taxa anual de 100%/3 = 33,33% (aproximadamente).  Sabemos que no regime de juros compostos essa taxa tem que ser menor do que os 33,33% ao ano, pois no regime de juros compostos, os juros de cada período são calculados sempre sobre o montante acumulado até aquele momento, o que dá um efeito de multiplicação mais acelerado ao capital (um efeito exponencial).  Nos juros simples, os juros são sempre calculados sobre o capital inicial, o que faz esse regime ter uma característica linear (ele cresce mais devagar do que nos juros compostos).  

Você pode estudar um pouco mais sobre isso no artigo (Comparação entre Juros Compostos e Juros Simples) e analisar um gráfico comparativo dos dois regimes de capitalização.

Com essa noção básica de matemática financeira, podemos descartar 3 alternativas de resposta:

a) 41,42 b) 44,22 c) 30,06 d) 25,99 e) 35,72

Ficamos apenas com duas alternativas para testarmos, note que será mais fácil testar a letra c).  Vamos testá-la, e se ela estiver correta encontramos o resultado, se não, a alternativa correta só poderá ser a letra d).

( 1 +  i)3 = 2
(1 + 30,06%)3 = 2
(1,30)3 ≅ 2
(1,30) x (1,30) x (1,30)  ≅ 2
1,69 x 1,30 ≅ 2
2,1970 ≅ 2  (Falso!)

A única alternativa agora que pode ser a correta é a letra d), antes de marcá-la, vamos testá-la.   Aproximando 25,99 para 26, temos que:

1,26 x 1,26 x 1,26 ≅ 2
1,58 x 1,26 ≅ 2
1,99 ≅ 2 [ Valor bem aproximado ]

Podemos concluir que nestas condições, a taxa efetiva (%) anual, de acordo com os dados apresentados, é a taxa da alternativa d) 25,99. 

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do PAES UEMA.

Um forte abraço e bons estudos.