(PAES UEMA - 2023) Energia Fotovoltaica é a energia elétrica produzida a partir
de luz solar, com uso crescente por ser ambientalmente
uma fonte de energia renovável. Veja o modelo ao lado.
Considere um usuário que contratou um plano
residencial de energia fotovoltaica (inclusos instalação e
equipamentos), considerando a utilização de um gerador
de 2,03 kwp, instalado em uma residência com consumo
médio mensal de 186,3 kwh, cujo valor inicial do plano
é R$ 15.818,78, com pagamento a ser feito, acrescido
de juros compostos no prazo de 3 anos. Sabe-se que o
montante a ser pago até o final do prazo corresponde ao
dobro do valor inicial.
Nestas condições, a taxa efetiva (%) anual, de acordo com os dados apresentados, é de
a) 41,42
b) 44,22
c) 30,06
d) 25,99
e) 35,72
Solução: questão de matemática do PAES (Processo Seletivo de Acesso à Educação Superior) para UEMA (Universidade Estadual do Maranhão). Prova aplicada no dia 27/11/2022.
Para resolver essa questão de matemática financeira, vamos utilizar a fórmula dos juros compostos:
M = C(1 + i)t
- i é a taxa anual que queremos descobrir
- t é o número de períodos que é igual a 3
- C é o valor inicial de R$ 15.818,78
- M é o montante a ser pago que é o dobro do valor inicial, ou seja, vale R$ (2 x 15.818,78)
Aplicando estes valores na fórmula, temos:
2 x 15.818,78 = 15.818,78 ( 1 + i)3
2 x 15.818,78 = 15.818,78 ( 1 + i)3
2 = ( 1 + i)3
( 1 + i)3 = 2
1 + i = 3√2
i = 3√2 - 1
Agora, aparece o desafio de obtermos a raiz cúbica de 2. Se na hora da prova você soubesse que
3√2 ≅ 1,2599
Então você teria que
i = 3√2 - 1
i = 0,2599 = 25,99%
Alternativa correta letra (d)
E se não tivéssemos o valor de 3√2 ?
Precisaríamos testar as alternativas de resposta até encontrar a correta. Mas vamos fazer isso realizando menos cálculos, utilizando alguns conceitos ligados a
juros simples e
juros compostos para eliminar algumas opções.
A questão trabalha com o regime de capitalização de juros compostos, sabemos que se estivéssemos nos juros simples, para dobrar um capital inicial em 3 anos, ou seja, para adicionar ao capital inicial mais 100% dele, precisaríamos de uma taxa anual de 100%/3 = 33,33% (aproximadamente). Sabemos que no regime de juros compostos essa taxa tem que ser menor do que os 33,33% ao ano, pois no regime de juros compostos, os juros de cada período são calculados sempre sobre o montante acumulado até aquele momento, o que dá um efeito de multiplicação mais acelerado ao capital (um efeito exponencial). Nos juros simples, os juros são sempre calculados sobre o capital inicial, o que faz esse regime ter uma característica linear (ele cresce mais devagar do que nos juros compostos).
Com essa noção básica de matemática financeira, podemos descartar 3 alternativas de resposta:
a) 41,42 b) 44,22 c) 30,06 d) 25,99 e) 35,72
Ficamos apenas com duas alternativas para testarmos, note que será mais fácil testar a letra c). Vamos testá-la, e se ela estiver correta encontramos o resultado, se não, a alternativa correta só poderá ser a letra d).
( 1 + i)3 = 2
(1 + 30,06%)3 = 2
(1,30)3 ≅ 2
(1,30) x (1,30) x (1,30) ≅ 2
1,69 x 1,30 ≅ 2
2,1970 ≅ 2 (Falso!)
A única alternativa agora que pode ser a correta é a letra d), antes de marcá-la, vamos testá-la. Aproximando 25,99 para 26, temos que:
1,26 x 1,26 x 1,26 ≅ 2
1,58 x 1,26 ≅ 2
1,99 ≅ 2 [ Valor bem aproximado ]
Podemos concluir que nestas condições, a taxa efetiva (%) anual, de acordo com os dados apresentados, é a taxa da alternativa d) 25,99.