(ENEM 2024 Reaplicação/PPL) – Questão sobre desvalorização do preço de um automóvel (modelo exponencial)

Enunciado da Questão

O automóvel é um bem que se desvaloriza muito rapidamente, quando comparado a outros bens. Após a venda, um automóvel novo já sofre uma grande desvalorização. O histórico de um automóvel novo, vendido por R$ 30 000,00, apresenta os seguintes valores (V ) de mercado, após decorridos os períodos indicados a seguir:

ao final de um ano, R$ 27000,00;
ao final de dois anos, R$ 24300,00;
ao final de três anos, R$ 21870,00.

Esses preços seguiram um modelo exponencial que expressa V em função do número n de ano de uso, pela relação V(n) = V₀ · qⁿ, em que V₀ é o valor inicial, q é o fator de desvalorização e n é o tempo, em ano, decorrido após a venda.

O valor, em milhar de real, com uma casa decimal, que mais se aproxima do valor de mercado desse carro, ao final de seis anos, é

(A) 13,7.
(B) 14,3.
(C) 14,6.
(D) 15,9.
(E) 17,7.

Fonte: questão de matemática do ENEM 2024 - Reaplicação/PPL, prova aplicada em 11/12/2024.

Resolução Comentada

Uma questão bem interessante com aplicação prática da matemática no dia a dia. Esse tipo de problema costuma ser cobrado em provas de carreiras bancárias (Banco do Brasil, Caixa Econômica, etc). Nele, precisamos encontrar V(6):

V(6) = V₀ · q⁶

Sabemos que V₀ = 30 000 , mas e o valor de q?

O valor de q não foi dado explicitamente no enunciado, mas com as informações disponíveis, é possível descobrir que q = 0,9.

O enunciado apresentou estes valores: V₀ = R$ 30.000,00 quando o automóvel foi vendido novo, e ao final de um ano o valor de R$ 27.000,00, este é o V(1) e com ele podemos obter o valor de q.

V(n) = V₀ · qⁿ

V(1) = 30000 · q¹

27000 = 30000 · q

q = 27000/30000

q = 0,9

Curiosidade: esses preços estão formando uma progressão geométria PG cujo primeiro termo a1 = 30.000 e a razão q = 0,9.

a1 = 30000

a2 = 30000 · 0,9 = 27000

a3 = 27000 · 0,9 = 24300

a4 = 24300 · 0,9 = 21870

(....)

Agora que já identificamos que q = 0,9, vamos para a última etapa que é encontrar V(6), ou seja, o valor de mercado desse carro, ao final de seis anos.

V(6) = V₀ · q⁶

V(6) = 30000 · 0,9⁶

Para simplificar essa conta, vamos utilizar uma das propriedades de potenciação para fazer o seguinte:

trocar 0,9⁶ por 0,9³ · 0,9³

V(6) = 30000 · 0,9³ · 0,9³

Essa mudança é útil, pois já sabemos que 30000·0,9³vale 21 870, é o valor do carro ao final de três anos conforme apresentado no enunciado.

V(6) = 30000 · 0,9³ · 0,9³

V(6) = 21870 · 0,9³

V(6) = 21870 · 0,729

V(6) = 15943,23

Resposta Correta

(D) 15,9

Curiosidade: vamos escrever essa PG listando todos os valores desse automóvel nestes anos

O enunciado nos forneceu os valores dos primeiros anos, a seguir, usando uma calculadora, vamos escrever essa PG como forma de exercício, até chegarmos no valor que foi encontrado como resposta para esse problema.

a1 = 30000

a2 = 30000 · 0,9 = 27 000

a3 = 27000 · 0,9 = 24 300

a4 = 24300 · 0,9 = 21 870

a5 = 21870 · 0,9 = 19683

a6 = 19683 · 0,9 = 17714,70

a7 = 17714,70 · 0,9 = 15943,23

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Um forte abraço e bons estudos.