(FATEC 2025) Como parte de um projeto ambiental, foram plantadas mudas de árvores frutíferas em um terreno, dispostas em linha reta mantendo sempre a mesma distância entre as árvores. A primeira muda foi plantada a 2 metros do início do terreno. A segunda, a uma distância de (6 + x) metros também do início do terreno. E, a terceira, ficou a 18 metros do início do terreno. Logo, essa sequência de distâncias forma uma Progressão

(FATEC 2025) – Questão de matemática de progressão aritmética e progressão geométrica no contexto de um projeto ambiental.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de PA e PG da FATEC.

Enunciado da Questão

Como parte de um projeto ambiental, foram plantadas mudas de árvores frutíferas em um terreno, dispostas em linha reta mantendo sempre a mesma distância entre as árvores.

A primeira muda foi plantada a 2 metros do início do terreno. A segunda, a uma distância de (6 + x) metros também do início do terreno. E, a terceira, ficou a 18 metros do início do terreno.

Logo, essa sequência de distâncias forma uma Progressão

(A) Aritmética (PA) de razão 4.
(B) Geométrica (PG) de razão 4.
(C) Aritmética (PA) de razão 6.
(D) Geométrica (PG) de razão 8.
(E) Aritmética (PA) de razão 8.

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Fonte: questão de matemática do Vestibular Fatec 2° Semestre 2025, prova aplicada em 29/06/2025.

Resolução Comentada

Uma questão interessante que nos permite praticar PA e PG. Vamos resolvê-la passo a passo, em primeiro lugar, de uma forma ilustrativa, esboçando os dados fornecidos no enunciado:

A distância entre as árvores é sempre a mesma, e foi ilustrada com um valor a qualquer. Podemos notar que

a + a = 18 – 2
2a = 16
a = 16/2
a = 8

Portanto, a segunda árvore está a uma distância de 2 + a = 2 + 8 = 10 metros do início do terreno.

A sequência de distâncias (2,10,18) forma uma Progressão Aritmética de razão 8. Isto porque, 10–2 = 18–10 = 8 ✅

Resposta Correta

Alternativa (E)

Curiosidade₁: pela leitura do enunciado, é possível notar que estamos diante de uma PA.  Quando ele informa "...mantendo sempre a mesma distância entre as árvores" e também nos mostra que a primeira e a terceira estão, respectivamente, a uma distância de 2 e 18 metros do início do terreno, isto significa que estamos diante de uma PA.  Sabendo que o primeiro termo da PA é 2 e o terceiro é 18, a diferença entre eles é igual a duas vezes a razão dessa PA. Portanto, a razão da PA pode ser encontrada calculando (18–2)/2 que resulta em 8.  O que nos permite concluir que é uma PA de razão 8.  

Curiosidade₂: não foi necessário, nas duas resoluções acima, encontrar o valor de x.  Entretanto, é possível resolver este problema usando (6+x).

(6+x) – 2 = 18 – (6+x)
4 + x = 18 – 6 – x
x + x = 12 – 4
2x = 8
x = 8/2
x = 4

O que também nos permite concluir que a segunda árvore está a uma distância de 6 + x = 6 + 4 = 10 metros do início do terreno.✅

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Um forte abraço e bons estudos.