Neste problema, exploramos conceitos de progressão aritmética e sistemas lineares na mesma questão. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo.
Enunciado da Questão
| { | x + y + z = 12 |
| 2x – y + z = 6 | |
| x + 2y – z = 4 |
são os três primeiros termos de uma progressão aritmética, podemos afirmar corretamente que a soma dos seus vinte primeiros termos é igual a
A) 40.
B) 210.
C) 128.
D) 420.
Resolução Comentada
Uma questão interessante sobre progressão aritmética (PA) que apresenta também um sistema linear 3x3. Podemos resolver o sistema linear para encontrar x, y e z. Uma outra possibilidade de solução é a seguinte: de acordo com o enunciado, se a solução x, y, z do sistema linear são os três primeiros termos de uma progressão aritmética, ou seja, (x,y,z) = (a1, a2, a3), então podemos utilizar conceitos de PA para nos ajudar a encontrar essa solução.
Podemos notar que a primeira equação do sistema linear nos informa que a soma dos três primeiros termos da PA é igual a 12. Sabemos que três é um número ímpar, logo a média desses três termos vai resultar no termo do meio, neste caso, no a2.
Média = (Soma dos termos)/(número de termos)
Média = 12/3
Média = 4
Assim, o termo a2 vale 4.
De uma forma passo a passo para ilustrar.
a1 + a2 + a3 = 12
a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) = 12
3a1 + 3r = 12
3(a1 + r) = 12
a1 + r = 12/3
a1 + r = 4
a2 = a1 + r = 4
Ou também.
a1 + a2 + a3 = 12
(a2 – r) + a2 + (a2 + r) = 12
3a2 = 12
a2 = 12/3
a2 = 4
Já sabemos que o y vale 4, assim podemos simplificar este sistema linear.
| { | x + y + z = 12 |
| 2x – y + z = 6 | |
| x + 2y – z = 4 |
A seguir, vamos substituir o y pelo número 4.
| { | x + 4 + z = 12 |
| 2x – 4 + z = 6 | |
| x + 2(4) – z = 4 |
Deste modo, teremos o sistema a seguir.
| { | x + z = 8 |
| 2x + z = 10 | |
| x – z = – 4 |
Agora, é possível obter o valor de x somando as equações 2 e 3.
2x + x + z + (– z) = 10 + (– 4)
3x = 6
x = 6/3
x = 2
Sabemos que a1 = 2, a2 = 4, logo a razão da PA vale r = a2 – a1 = 4 – 2 = 2.
Nesta resolução, não precisamos encontrar o valor de z, que vale 6.
Finalmente, vamos ao cálculo da soma dos 20 primeiros termos dessa PA
an = a1 + (n – 1)·r
a20 = 2 + (20 – 1)·2
a20 = 2 + 19·2
a20 = 2 + 38
a20 = 40 // vigésimo termo da PA vale 4.
Sn = [(a1 + an) · n]/2
S20 = [(2 + 40) · 20]/2
S20 = 42 · 10
S20 = 420
Resposta Correta
(D) 420
Questões de Matemática sobre Sistemas Lineares
Questões sobre sistemas lineares são muito cobradas em provas de vestibulares e concursos. Você pode praticar este tema com uma lista de exercícios onde os sistemas não são fornecidos diretamente no enunciado. Nestes problemas, será necessário interpretar as informações disponíveis, raciocinar sobre a situação, definir variáveis, montar um sistema de equações e resolvê-lo. Esses exercícios podem parecer confusos no início, mas ficam mais claros com a prática. A seguir, você pode conferir uma lista com mais questões de sistemas lineares.
📝 Exercícios Resolvidos de Sistemas Lineares
Mais Questões da UECE resolvidas
Para ampliar seus estudos, confira a relação completa com questões de matemática da UECE resolvidas, cobrindo diversos temas de matemática:
➕ Explorar todas as questões resolvidas de matemática da UECE
Um forte abraço e bons estudos.
