Questão com cálculo de porcentagem em um contexto de produção de plástico a partir de derivados de petróleo ou reciclagem.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
Uma empresa produziu, em um determinado mês, 110 toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo e 80 toneladas a partir de plásticos reciclados. O custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R$ 500,00, que equivale a 5% do custo para produzir a mesma quantidade de plástico a partir de derivados de petróleo. Para o mês seguinte, a meta dessa empresa é produzir a mesma quantidade de plástico que foi produzida nesse mês, mas com redução de, pelo menos, 50% no custo de produção.
Para que no mês seguinte a empresa atinja a meta, a quantidade mínima de toneladas de plástico que devem ser produzidas a partir de reciclagem deverá ser
(A) 135.
(B) 140.
(C) 155.
(D) 160.
(E) 175.
Resolução Comentada
(Custo do mês 1) = 110 × 10 000 + 80 × 500 = 1 140 000
A seguir, podemos verificar essa conta passo a passo.
(Custo do mês 1) = (quantidade de toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo) × (custo para produzir uma tonelada de plástico a partir de derivados de petróleo**) + (quantidade de toneladas de plástico reciclados) × (custo para reciclar uma tonelada de plástico)
** Ainda não temos o valor do custo para produzir uma tonelada de plástico a partir de derivados de petróleo, vamos chamá-lo de C, mas temos essa informação do enunciado: "O custo para reciclar uma tonelada de plástico é de R$ 500,00, que equivale a 5% do custo para produzir a mesma quantidade de plástico a partir de derivados de petróleo." Essa informação nos permite obter quanto vale esse custo C, que neste caso é 20 vezes maior do que o custo para reciclar. Ou seja, C = 20 x 500 = 10 000 reais. Ou também, calcular passo a passo a seguir.
500 = 5% de C
500 = 5% × C
500 = (5/100) × C
500 = (1/20) × C
C = 20 × 500 //conta já feita anteriormente
C = 10 000
(Custo do mês 1) = 110 × 10 000 + 80 × 500
1 100 000 + 40 000
1 140 000
O enunciado estabelece: "Para o mês seguinte, a meta dessa empresa é produzir a mesma quantidade de plástico que foi produzida nesse mês, mas com redução de, pelo menos, 50% no custo de produção."
Isto quer dizer que a produção do mês 2 também será de 110 + 80 = 190 toneladas. Além disso, ela vai buscar uma economia de pelo menos 50% de 1 140 000, isto é, pelo menos a metade de 1 140 000 que é igual a 570 000.
Vamos considerar que R é a quantidade de toneladas de plástico produzidas no mês 2 por meio de reciclagem e (190 - R) é a quantidade de toneladas de plástico produzidas a partir de derivados de petróleo.
(Custo do Mês 2) = (190 - R) × 10 000 + R × 500 = 570 000
1 900 000 – 10 000 R + 500 R = 570 000
– 9 500 R = – 1 330 000
R = – 1 330 000 / – 9 500
R = 140
Prova Real:
(Custo do mês 2) = 50 × 10 000 + 140 × 500 = 500 000 + 70 000 = 570 000 ✅
Resposta Correta
(B) 140
Também é possível resolver este problema pensando no seguinte: o que essa empresa pode fazer para reduzir o custo de produção do mês 2? Sabemos que ela não pode produzir menos toneladas do que no mês 1, porém ela pode "trocar" a produção de toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo por toneladas de plástico a partir de reciclagem. Fazendo isso, ela terá uma economia significativa, pois as toneladas de plástico a partir de reciclagem são bem mais baratas.
Vamos pensar no seguinte, se deixarmos de produzir somente 1 tonelada de plástico a partir de derivados de petróleo, a economia será de 10 mil reais. Porém, precisamos compensar produzindo 1 tonelada de plástico reciclado, que custa 500 reais. Ao fazer essa troca, há uma economia de 10 000 – 500 = 9 500 reais. Vamos ver passo o que acontece ao realizar essas trocas de 1, 2, 3, até um número N qualquer de toneladas.
- Trocar 1 tonelada gera uma economia de 9 500 reais;
- Trocar 2 toneladas gera uma economia de 2 × 9 500 = 19 000 reais;
- Trocar 3 toneladas gera uma economia de 3 × 9 500 = 28 500 reais;
- (...)
- Trocar N toneladas gera uma economia de N × 9 500 = 9 500 N reais.
Agora, vem a seguinte pergunta: quanto vale N? Podemos encontrá-lo igualando 9500 N ao valor da economia que precisará ser feita, neste caso, essa economia será de 570 000 reais (pelo menos).
9 500 N = 570 000
N = 570 000 / 9500
N = 60
Atenção, encontramos N = 60, isso significa o seguinte:
Produção mensal em toneladas
| Mês | Derivados de Petróleo | Reciclados |
|---|---|---|
| I | 110 | 80 |
| II | 110 – 60 = 50 |
80 + 60 = 140 |
Resumindo, para atingir a economia de pelo menos 570 mil reais, a empresa precisará "trocar", pelo menos, 60 toneladas.
- No mês 1 ela produziu 110 toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo, então no mês 2 ela irá produzir 110 – 60 = 50 toneladas;
- No mês 1 ela produziu 80 toneladas de plástico reciclados, então no mês 2 ela irá produzir 80 + 60 = 140 toneladas.
Também é possível resolver esse problema usando um sistema linear.
Vamos usar x para representar a produção de toneladas de plástico a partir de derivados de petróleo do mês 2 e y para representar a produção de toneladas de plástico reciclado do mês 2. Queremos descobrir quanto vale y.
No mês 2, sabemos que x + y = 190.
O custo do mês 2 vale 570 000 neste caso.
(Custo do mês 2) = x · 10 000 + y · 500 = 570 000
10 000 x + 500 y = 570 000
Dividir os dois membros da equação por 100.
100 x + 5 y = 5 700
Assim, temos o seguinte sistema linear:
| { | x + y = 190 |
| 100 x + 5 y = 5 700 |
Podemos multiplicar a primeira equação por –100.
| { | –100x –100y = – 19 000 |
| 100 x + 5 y = 5 700 |
Somar as duas equações.
–100x + 100x – 100y + 5y = –19 000 + 5 700
–95y = –13 300
y = –13 300 / –95
y = 140
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Um forte abraço e bons estudos.
