Números Complexos - ESA (Escola de Sargento das Armas) 2018 - Considere o número complexo z = 2 + 2i.  Dessa forma, z100.

Resposta:  é um número real negativo.

Solução da questão:  O primeiro passo é elevar z ao quadrado para simplificarmos.

z2 = (2+2i)(2+2i) = 4 + 4i + 4i + 4i2 =  4 + 8i  + 4(-1)  =  4 + 8i   - 4  = 8i

 Sendo assim, sabemos agora que z100  =  (z2  )50

z100  =  (8i  )50
z100  =  850 i50  [ aplicando regra de potenciação]

O número 850  não nos interessa agora, pois sabemos que ele será imenso e , principalmente, real e positivo.

Vamos nos concentrar no i50.

Existe uma regra na potenciação de números complexos que eles respeitam um ciclo de 4 em 4.  Vejamos:

i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i

i4 = 1
i5 = i
i6 = -1
i7 = -i

E assim sucessivamente,  sempre repetindo o ciclo de 4 em 4.
Podemos então dividir  i50  em partes de 4.



ou seja, 50 poderá ser dividido em 12 partes de 4, e ainda sobrará uma parte com 2.

Podemos então re-escrever i50  como sendo



Já sabemos que  (i4 = 1) e (i2 = -1)  então podemos afirmar que i50  = -1.

De modo que, finalmente, z100  =  850 (-1)     >>>>>>  o número complexo z elevado a 100 será um número real e negativo.