(ENEM 2018) Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um bilhete?
a) 34
b) 42
c) 47
d) 48
e) 79
Solução: nesta questão de matemática do ENEM 2018, vamos montar e resolver um sistema linear, sejam as variáveis:
- t é o total de alunos do colégio;
- t – 80 é o total de alunos que foram à festa;
- Tb é o total de bilhetes vendidos que é igual a t + 33;
- X1 é o número de alunos que compraram 1 bilhete, que é igual a 20% de Tb;
- X2 é o número de alunos que compraram 2 bilhetes, que é igual a 45;
- X3 é o número de alunos que compraram 3 bilhetes.
Nosso objetivo é encontrar X1.
O total de alunos que foram à festa (ou seja, t – 80) é igual a X1 + X2 + X3, vamos equacionar isto:
t – 80 = X1 + X2 + X3
t – 80 = X1 + 45 + X3
t = X1 + 45 + X3 + 80
t = X1 + X3 + 125 "Equação I"
O total de bilhetes vendidos (t + 33) é igual a 1·X1 + 2·X2 + 3·X3, vamos equacionar isto:
t + 33 = 1·X1 + 2·X2 + 3·X3
t = X1 + 2·45 + 3X3 – 33
t = X1 + 90 + 3X3 – 33
t = X1 + 3X3 + 57 "Equação II"
Organizando o sistema linear:
| { | t = X1 + X3 + 125 |
| t = X1 + 3X3 + 57 |
A primeira equação nos informa que t é igual a X1 + X3 + 125
A segunda equação nos informa que t é igual a X1 + 3X3 + 57
Igualando ambos:
X1 + X3 + 125 = X1 + 3X3 + 57
125 – 57 = X1 + 3X3 – X1 – X3
68 = 2X3
X3 = 68/2
X3 = 34
Uma outra forma de resolução:
| { | t = X1 + X3 + 125 |
| t = X1 + 3X3 + 57 |
Resolver a equação 2 menos a equação 1.
t – t = X1 + 3X3 + 57 – X1 – X3 – 125
0 = 2X3 – 68
2X3 = 68
X3 = 68/2
X3 = 34
O enunciado afirmou que "O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos".
X1 = 20% de Tb
X1 = (20/100)·Tb
X1 = (2/10)·(1·X1 + 2·X2 + 3·X3)
X1 = (1/5)·(1·X1 + 2·45 + 3·34)
5X1 = X1 + 90 + 102
5X1 – X1 = 192
4X1 = 192
X1 = 192/4
X1 = 48 [alternativa correta é a letra D]
A seguir, vamos tirar uma prova real:
(X1, X2, X3) = (48, 45, 34)
O total de alunos que foram à festa é igual à soma X1 + X2 + X3 = 48 + 45 + 34 = 127
Logo, o total de alunos do colégio = 127 + 80 = 207
Vamos calcular o total de bilhetes vendidos: 1·X1 + 2·X2 + 3·X3 = 48 + 90 + 102 = 240
O total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio: 240 – 207 = 33 (Verdade)
O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos: X1 = 0,20 · 240 = 48 (Verdade)
Na lista a seguir, confira mais questões resolvidas de sistemas lineares do ENEM.
Um forte abraço e bons estudos.
