ENEM 2017 - Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

(Enem 2017) Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é

Solução:   questão muito interessante de matemática financeira que envolve o cálculo do valor presente, dado um valor futuro, uma taxa de juros e um número de períodos.  Antes de fazer a questão vamos a uma breve revisão destas fórmulas.

Fórmula do Valor Futuro e Valor Presente

A fórmula para o Valor Futuro de um investimento é dada por:

VF = VP ( 1+i)^t

Onde: VF = Valor Futuro; VP = Valor Presente; i = taxa de juros; t = número de períodos.

Essa é a mesma fórmula do Montante nos Juros Compostos.

Também podemos calcular o Valor Presente (trazer o valor futuro a valor presente por meio de uma taxa), usando a fórmula

VP = VF / ( 1+i)^t

Por exemplo, uma parcela que vencerá daqui a um mês com valor igual a P na data futura, terá Valor Presente igual a:

VP = P/(1+i)¹

Já uma parcela que vencerá daqui a dois meses com valor igual a P na data futura, terá Valor Presente igual a:

VP = P/(1+i)²

Tendo feito esta revisão podemos ir para a questão de matemática financeira do ENEM.

O enunciado diz que são 8 parcelas de valor igual a P.  A taxa de juros é de i% ( atenção especial a este % junto do i).  O enunciado também informa que, na data do pagamento da 6ª parcela, o devedor irá pagar essa 6ª parcela e também vai antecipar a 7ª e a 8ª, encerrando assim seu empréstimo.

Deste modo, na data de vencimento da 6ª parcela, o devedor pagará:

6ª Parcela   -    P
7ª Parcela   -    P / (1+i)
8ª Parcela   -    P / (1+i)²

Total pago = [ P ] + [ P / (1+i) ] + [ P / (1+i)² ]
Total pago = P [ 1 + 1/(1+i) + 1/(1+i)²]

Como a taxa de juros informada no enunciado da questão do ENEM tem o formato i% então só precisamos ajustar.

Total pago = P [ 1 + 1/(1+i/100) + 1/(1+i/100)²]     >>>>   (Logo a alternativa correta é a Letra A)

Confira mais exercícios resolvidos de Matemática para o ENEM.

Forte abraço e bons estudos.