(ENEM 2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marítima.  Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas na laterais.



Quais devem ser os valores de X e Y, em metro para que a área da base do viveiro seja máxima?

a) 1 e 49
b) 1 e 99
c) 10 e 10
d) 25 e 25
e) 50 e 50

Solução:  questão bem interessante de maximização.  Uma dica: quando o objetivo for maximizar ou minimizar é bem provável que tenhamos que usar as coordenadas do vértice da parábola.  No futuro, aqueles que estudarem Cálculo Diferencial, em cursos de Engenharia ou Economia, também aprenderão as técnicas de derivação.

O problema nos informa que a tela que irá circundar o viveiro deverá ter o comprimento de 100 metros.  Veja a ilustração a seguir, fiz com intuito de facilitar a interpretação do problema:



Temos que 2x + 2y = 100
Logo,          x + y = 50

Veja que com esta informação já podemos eliminar as opções a seguir:

a) 1 e 49      Soma = 50
b) 1 e 99      Soma = 100
c) 10 e 10    Soma = 20
d) 25 e 25    Soma = 50
e) 50 e 50    Soma = 100

Não seria difícil identificar que a alternativa "d" é a correta, uma vez que a área de 25x25 é muito superior a área da alternativa "a", que é 1 x 49.  Já poderíamos marcar a letra d como resposta.

Porém, mesmo assim, vamos resolver essa questão.

x + y = 50
Área = x.y 

Como y = 50 - x

A (x) = x . (50 - x) = 50x - x²

A (x) = - x² + 50x 

Nosso objetivo é maximizar A (x), uma função que representa uma parábola com concavidade voltada para baixo, logo ela possui um ponto de máximo.  Podemos encontrar o valor de x que maximiza essa parábola por meio da coordenada X do vértice:  Xv = -b/2a.

Xv = -50/2(-1) = -50 / -2 = 25

Logo o x que maximiza a área é o (x=25)

como x + y = 50
25 + y = 50
y = 25  (alternativa correta é a letra d)

Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado no entendimento dessa questão.

Aproveite para conferir mais questões de Matemática para o ENEM resolvidas. Um forte abraço e bons estudos!