(ESA 2019) Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 m².  Sabe-se que o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O pertence a BC.  Nessas condições, a área em m² do triângulo ABC mede:

Solução: questão interessante da Escola de Sargentos das Armas de 2019 de geometria plana sobre inscrição e circunscrição.  Vamos desenhar a questão para uma melhor visualização.



Podemos encontrar x por meio das relações trigonométricas em um triângulo retângulo.

tg 60º = √3/x
√3 = √3/x
x = 1

Desse modo, o lado deste triângulo equilátero será igual a 
L = 2 + √3

Agora basta calcularmos a área do triângulo.  

Área = L x L x sen 60º x 1/2
 (2 + √3)² x √3/2 x 1/2
(4 + 2.2.√3 + 3) x √3/4
(7 + 4√3) x √3/4
(7√3 + 12)/4  
[alternativa correta é letra E]



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 Um forte abraço e bom estudo.