(ESA 2019) As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo são expressas por x+1, 2x, x² -5 e estão em progressão aritmética, nessa ordem.  Calcule o perímetro do triângulo:

a)  18 cm   b) 25 cm  c) 15 cm  d)  24 cm  e) 20 cm

Solução:  questão muito interessante de PA que envolve também geometria e equações do segundo grau como veremos mais adiante na resolução.   Inicialmente, faremos um esboço gráfico do nosso triângulo:


Sendo a PA = {a1, a2, a3} = {x+1,  2x,  x² -5 }

Podemos aplicar a2 - a1 = a3 - a2, isso porque a diferença entre um termo sucessor e o seu antecessor é sempre a razão.

Veja um exemplo mais simples com a seguinte PA = {2,4,6,8,10}

É verdade que 4-2 = 6-4 = 8-6=10-8 = 2  ( a própria razão dessa PA)

Com este macete você pode resolver muitos problemas de PA.

Com PG seria com divisão (a2/a1 = a3/a2 e assim sucessivamente) , mas deixamos PG para um outro exercício.

Sendo:
  a2 - a1 = a3 - a2    
(2x) - (x+1) = (x² - 5) - (2x)
x -1 = x² - 5 -2x
x² - 2x -5 -x +1 = 0
x² - 3x - 4 = 0

Chegamos a uma equação do segundo grau que podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara. 

x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = (-3)² - 4 . ( 1 ) . ( -4 )
Δ = 9 + 16 = 25
√Δ = 5

x = (-(-3) ± 5) / 2 (1)
x = ( 3 ± 5 ) / 2
x1 = (3 + 5) /2    e    x2 = (3 - 5) /2
x1 = 4   e x2  = -1


Deste modo teremos a PA sendo representada por:




Perceba que se x2 = -1, então os lados do triângulo assumiriam valores iguais a zero ou negativos.  Portanto devemos descartá-lo.

Ficamos com x1 = 4 e dessa forma a PA é dada por {5,8,11}.  Finalmente o triângulo é o seguinte:



O perímetro de um triângulo é a soma dos 3 lados, logo 5 + 8 + 11 = 24 cm. A alternativa correta é a letra D.

Espero que esta resolução ilustrada passo a passo tenha te ajudado na compreensão.

Recomendo também:

>>>  Bateria com 10 questões anteriores da ESA;

 Um forte abraço e bons estudos!