( Prova de Matemática do Vestibular CEDERJ 2019.1) Sejam X e Y matrizes quadradas, reais, de ordem 2. Tem-se que:


(A) det (XY) = det(X). det(Y).
(B) det (X+Y) = det(X)+det (Y).
(C) det (a X) = a det(X) para todo número real a.
(D) Se det(Y) = 0, então uma coluna ou uma linha de Y é nula.

Solução:  questão teórica sobre matrizes especificamente sobre propriedade dos determinantes.  Vamos analisar cada opção de resposta:

(A) Está correta.  Esta é uma das propriedades dos determinantes.

(B) Está incorreta.   O det (X+Y) ≥ det(X)+det (Y).

Você pode testar por meio de um exemplo:

       X =   1  1              det Y =    0
                2  2

       Y =   1  1              det X = 1
                0  1

X + Y =   2  2             det X + Y = 2
                2  3

C) Está incorreta.   Para corrigir a letra c), deveríamos reescrevê-la da seguinte maneira:

  O det (a X) = a n det(X) ; 

Neste caso n = 2  porque a matriz X é de ordem 2.  Caso a matriz X fosse de ordem 3, então n seria igual a 3, e assim sucessivamente.

D) Está incorreta. Para o determinante ser nulo, não é necessário que uma coluna ou uma linha seja nula, existem matrizes que não atendem a estas condições e possuem determinante igual a zero. Veja o exemplo desta matriz:

2  2          Seu determinante é zero sem que haja linha ou coluna nula.
1  1


Alternativa correta é a letra (A)

Um forte abraço e bons estudos.