(Concurso: Professor de Matemática - Rio das Ostras - RJ. Banca: IBAM. Ano:  2019)    Considere que o logaritmo de 3 na base 18 seja igual a m.  O logaritmo de 8 na base 12 é igual a:

a) (3-6m)/(2+3m)
b) (3+6m)/(2-3m)
c) (3+6m)/(2+3m)
d) (3-6m)/(2-3m)

Solução:  questão bem interessante sobre logaritmos do último concurso para professor de matemática de Rio das Ostras - RJ, que requer muita atenção, pois envolve mudança de base, propriedades dos logaritmos ( propriedade de soma e potência) e muitos cálculos.

Perceba que os números 3, 18, 8 e 12 do enunciado podem ser decompostos em fatores primos, todos como produtos de 2 e/ou 3.

  3 = 3
18 = 3².2
  8 = 2³
12 = 2².3

Dessa forma, ficará mais fácil fazer a mudança de base dos logaritmos para uma base 10, onde ao final, teremos todos eles como log2 ou log3.

Como fazer a mudança de base em logaritmos?


Para mudarmos loga b para uma base c devemos utilizar a seguinte estrutura:



Seja:

log 18 3 = m

Mudando para base 10, teremos:

log 3 / log 18 = m
log3 = m . log 3².2
log 3 = m . (log3² + log 2  )
log 3 = m . (2 log 3 + log 2)
log 3 = 2m log 3 + m . log2
m.log2 = log3 - 2m log3
m log2 = log3 (1-2m)
log2 = log3 (1-2m)/m


Agora vamos para o objetivo da questão: calcular log12 8 em função de m. Mudando para base 10.

log12 8 = log 8/log12
log 2³ / log 2².3
3 log2 / (log 2² + log 3)
3 log2 / (2 log 2 + log 3)    [ agora substituiremos   log2 = log3 (1-2m)/m]
[3 log3 (1-2m)/m ]/[ 2 . log3 (1-2m)/m + log 3]
[ log3 (3-6m)/m ]/[ log3 [ 2 - 4m]/m + 1]]
[(3-6m)/m] / [(2-4m +m) /m]
[(3-6m)/m] / [(2-3m) /m]
[(3-6m)/m] * [m/(2-3m)]
(3-6m)/(2-3m)   alternativa correta é a letra d.


Confira mais questões sobre logaritmos.

 Um forte abraço e bons estudos.