(ENEM – 2015)  Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

a) 105 peças.
b) 120 peças.
c) 210 peças.
d) 243 peças.
e) 420 peças.

Solução:  questão muito interessante do ENEM onde precisamos tirar o MDC entre 540 cm, 810 cm e 1 080 cm.  Vamos ao cálculo.
Note que o MDC deu 270 cm = 2,70 m.   Como as peças devem ser inferiores a 2,00 m, então não podemos trabalhar com o MDC e sim, devemos ver se o segundo maior divisor comum é inferior ao critério da peça ser menor que 2,00 m.

Como o maior divisor comum = 2.3.3.3.5 = 270 cm
O segundo maior divisor comum = 2.3.3.3.5 = 135 cm  (este é menor que 200 cm)

Retiramos o menor dos números primos que compõem o MDC para chegar no segundo MDC.  E o segundo MDC é menor que 200 cm.

Agora é só dividir:

40 x  540 cm / 135 cm = 40 x 4  = 160
30 x  810 cm / 135 cm = 30 x 6  = 180
10 x 1080 cm / 135 cm = 10 x 8 = 80

Total = 160 + 180 + 80 = 420 peças de 135 cm cada uma.  Alternativa correta é a letra E.

Curiosidade: caso você ainda não tenha enxergado a situação do segundo maior divisor comum, vamos tentar compreendê-lo por meio dos conjuntos dos divisores de cada número:

Divisores de 540:  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540}
Divisores de 810:  {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 81, 90, 135, 162, 270, 405, 810}
Divisores de 1.080:  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 27, 30, 36, 40, 45, 54, 60, 72, 90, 108, 120, 135, 180, 216, 270, 360, 540, 1080}

 Note que 270 é o maior divisor comum entre eles, mas como as peças devem ser inferiores a 200, então precisamos buscar o segundo maior divisor comum, que no caso é 135 cm.

 Espero ter te ajudado a compreender esta questão com essa resolução passo a passo.

 Um forte abraço e bons estudos.