(EsPCEx - 2017) Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A=(1,0).

(EsPCEx - 2017) Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A=(1,0).

O polígono regular cujos vértices são os afixos de ⁴√E é

[A] BEHK.     
[B] CFIL.
[C] ADGJ.
[D] BDHJ.
[E] CEIK.

Solução:  neste exercício precisamos obter a raiz quarta de um número complexo.  A fórmula de Moivre e o embasamento teórico sobre raízes de números complexos pode ser consultada  no link a seguir do portal wikiciencias.casadasciencias.org/:

>>>  Raízes de Números Complexos

Continuando na resolução, como os pontos dividem a circunferência em 12 partes iguais, então o ângulo entre eles é de 30°.  Isso porque a circunferência possui 360° e ao ser dividida em 12 partes iguais, cada parte terá 360°/12 = 30°.

Podemos visualizar que E está em 120° neste plano de Argand-Gauss.

Vamos escrever E na sua forma trigonométrica ou polar:

E = |E| . (cos θ + i sen θ)

|E| = Raio da Circunferência = 1

θ = 120º

E = |E| (cos θ + i sen θ)

E = 1 (cos 120° + i sen 120°)

Agora precisamos calcular  ⁴√E.

Existem 4 raízes para este problema, as quais chamaremos Ro, R1, R2, R3.  Uma curiosidade, estas raízes estão sob a mesma circunferência de centro (0,0) e Raio igual a ⁴√|E|. 

As quatro raízes são obtidas pela fórmula. 

Rk = ⁴√ |E| . (cos θk + i sen θk)    ;   onde   θk = [θ + k . 360º] / 4

Vamos nos dedicar primeiro a calcular os ângulos θ0, θ1, θ2 e θ3 os quais eu prefiro trabalhar em graus

θ0 = [120º + 0 . 360º] / 4 = 120°/4 

θ0= 30°

θ1 = [120º + 1 . 360º] / 4 = 480°/4 
θ1 = 120°

θ2 = [120º + 2 . 360º] / 4 = 30° + 2 . 90º = 30° + 180º
θ2 =  210°

θ3 = [120° + 3 . 360º] / 4 = 30° + 3 . 90° = 30° + 270°
θ3 = 300°

Agora podemos escrever o conjunto solução:

R0 = 1 ( cos 30° + i sen 30°)   --->>>  ponto B

R1 = 1 ( cos 120° + i sen 120°)   --->>>  ponto E

R2 = 1 ( cos 210° + i sen 210°)   --->>>  ponto H

R3 = 1 ( cos 300° + i sen 300°)   --->>>  ponto K

Alternativa correta é a letra A

Curiosidade: veja que as raízes estão inscritas na mesma circunferência de raio igual a ⁴√|E| que dá exatamente 1.

Um desafio: tente resolver esse mesmo exercício, ou seja, encontrar  ⁴√E , sendo que agora
E = 16 . (cos 120° + i sen 120°).

Um forte abraço e bons estudos.