(EsPCEx - 2018) Sabendo que o número complexo i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio p(x) = x- 2x- x + 2, podemos afirmar que p(x) tem

[A] duas raízes iguais a i, uma raiz racional e duas raízes irracionais.
[B] i e -i como raízes complexas e três raízes irracionais.
[C] uma raiz complexa i e quatro raízes reais.
[D] i e -i como raízes complexas e três raízes inteiras.
[E] três raízes simples e uma raiz dupla.

Solução:  questão muito boa sobre polinômios e números e complexos que requer atenção para alguns aspectos teóricos destas disciplinas da matemática.

Sabe-se que se um número complexo (a+bi) é raiz de um polinômio, então o seu conjugado (a-bi) também será.  Isto quer dizer que as raízes complexas aparecem sempre aos pares.

Recomendo a leitura do Livro Matemática Fundamental, 2º Grau - Volume Único.  Autores: José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. Editora FTD. São Paulo, 1994. No capítulo 20 os autores abordam aspectos teóricos sobre Equações Polinomiais muito úteis para a resolução desta questão. 

Como i é raíz de p(x) = x- 2x- x + 2 então -i também é.

Até aqui, sabemos que p(x) possui +i e -i como raízes.  Podemos então dividir o polinômio p(x) por (x-i).(x+i) e teremos resto zero.  Assim reduziremos esse polinômio.

(x+i).(x-i) = x² - i² = x² +1

Dividindo-se p(x)  por x² + 1 teremos o resultado a seguir:


Dá para visualizar facilmente que + 1 e  -1 são raízes do polinômio x³ - 2x² - x + 2.

Vamos obter a 5ª raiz de p(x) fazendo a divisão por (x-1)(x+1).

(x-1)(x+1) = x² - 1² = x² - 1



O quociente encontrado foi x-2
x-2 = 0
x=2  [5ª raiz]

O conjunto solução das raízes de p(x) = x- 2x- x + 2 é {i, -i, 1, -1, 2}.

A alternativa correta é a letra D

Um forte abraço e bons estudos.