Seja z = i  (sendo i a unidade imaginária)

 a) calcule z10 ;

 z10  =  i10 = i².i².i².i².i² = -1.-1.-1.-1.-1 = -1

b) calcule z10  utilizando a fórmula de Moivre.

Todo número complexo z = a + bi pode ser escrito em sua forma trigonométrica ou polar.

Em nosso caso, z = 0 + 1i

Plano de Argand-Gauss  (também conhecido de Plano Complexo)



A forma trigonométrica de um número complexo é

z = |z| . (cos θ + i sen θ ) 

Podemos transformar o número complexo z= i em

z  =  1 . (cos 90° + i sen 90º)


A fórmula de Moivre para o cálculo de potenciação é

zn = |z|n . (cos nθ + i sen nθ )

Calcular z10  pela fórmula de Moivre

Sendo z  =  1 . (cos 90° + i sen 90º)

z10 = 110  .(cos 10 . 90° + i sen 10 . 90°)
z10 = 1  .(cos  900° + i sen 900°)

900° = 2 . 360° + 180°
cos 900° = cos 180° = -1
sen 900° = sen 180° =  0

z10 = 1  .( -1 + i . 0)
z10 = -1

Note que para resolver potência de complexos que possuem apenas parte imaginária não é necessário usar a fórmula de Moivre.  Porém, quando os números complexos tiverem o formato  z = 1 + i  e o objetivo for calcular z20  , daí então o melhor caminho será utilizar a fórmula de Moivre.

 Um forte abraço e bons estudos.