6 - (Concurso: Técnico Bancário - CEF Caixa Econômica Federal  / Banca: Fundação Cesgranrio - Ano 2008)  Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois algarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11

Solução:  questão muito interessante do Concurso de 2008 da Caixa Econômica Federal sobre divisores de um número.  Ao escolher primeiramente o exemplo mais simples, quando N = 11, temos que o conjunto P = { 11 } e o somatório dos elementos de P é igual a 11, ou seja,  ΣP = 11.  Repare que com esta escolha, já poderíamos marcar a letra E.  

Se usássemos um outro exemplo: N = 21 ;  P = {11, 12, 21, 22 }  ; ΣP = 66  que é divisível, por 2, 3, 11.   Em todos os diferentes casos, o 11 é o único que está sempre presente.

Agora vamos resolver esta questão sobre divisores de uma forma literal.  Repare que N pode ter dois algarimos idênticos ou então dois algarismos distintos.

Caso 1   N = XX Caso 2   N = XY
N = XX
P = { XX } 
ΣP = 10. X + 1.X                     
ΣP = 11. X
N = XY
P = { XX, XY, YX, YY } 
ΣP = 10.X + 1.X + 10.X + 1.Y
+ 10.Y + 1.X + 10.Y + 1.Y
ΣP = 22.X + 22.Y
ΣP = 22.( X + Y)
ΣP = 2.11. ( X + Y)

Agora fica mais nítido que, em qualquer caso, o somatório dos elementos de P será sempre divisível por 11. Alternativa correta é a letra E.

Espero que esta resolução passo a passo tenha te ajudado na compreensão da solução problema. Aproveite e confira, mais exercícios resolvidos sobre múltiplos e divisores.

Um forte abraço e bons estudos.