(EsPCEx - 2019) A partir de um cubo de aresta 1, inscreve-se uma esfera; nessa esfera inscreve-se um novo cubo e neste, uma nova esfera. Repetindo essa operação indefinidamente, a soma das áreas totais desses cubos é igual a

[A] 7. [B] 8. [C] 9. [D] 10. [E] 11.

Solução:  questão muito boa de inscrição de sólidos onde além de trabalhamos conceitos da geometria espacial também utilizaremos conceitos de uma Progressão Geométria Infinita (PG Infinita).

Nossa PG é formada por infinitas áreas de cubos, onde o primeiro deles tem aresta (a) igual a 1.
A fórmula da área do cubo é:  A = 6 x a²
O primeiro cubo tem área igual a 6.  Este é termo a1 da PG infinita.

O segundo termo será a área do segundo cubo que está dentro da primeira esfera.

Quando inscrevemos uma esfera dentro de um cubo, essa esfera terá diâmetro igual à aresta do cubo, ou seja, o diâmetro da primeira esfera vale 1.

Esfera 1 inscrita no Cubo 1



Depois, vamos inscrever o segundo cubo dentro dessa primeira esfera, e para este caso, teremos que o diâmetro da primeira esfera será igual a diagonal do segundo cubo.

Cubo 2 inscrito na Esfera 1


A diagonal do segundo cubo é igual a Dc = √(a² + a² + a²) = a√3

Como ela é igual ao diâmetro da primeira esfera que vale 1, então 
a√3 = 1
a = 1/√3  * √3 / √3
a = √3 / 3   

A área do segundo cubo então será 6 x a² = 6 x (√3 / 3)²
6 x 3/9 = 2   (este é o termo a2 da PG infinita)

PG = {6, 2, .....  }

Podemos obter a razão q dessa PG dividindo a2 por a1.    

q = 2/6 = 1/3

Agora, basta aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita.

S = a1 / ( 1 - q) 
S = 6 / (1-1/3)
S = 6 / (2/3)
S = 6 x 3/2 
S = 18/2
S = 9   Alternativa correta é a letra C.

Aproveite e continue estudando com mais questões sobre os temas a seguir:

Lista de Exercícios sobre PA, PG e PG infinita.

Lista de Exercícios de Geometria Espacial.

Um forte abraço e bons estudos.