(EsPCEx - Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2019) Sabe-se que as raízes da equação x³-3x²-6x+k=0 estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de k/2 é igual a

a) 5/2
b) 4   
c) 7/2   
d) 3   
e) 9/2

Solução:  questão muito interessante de equações polinomiais e progressão aritmética.  Vamos utilizar  as relações de Girard no desenvolvimento dessa questão.

Sejam, x1, x2 e x3 as raízes da equação polinomial de grau 3 do tipo a.x³ + b.x²+cx + d = 0

Então, aplicam-se as relações de Girard:

x1+x2+x3 = -b/a     (Equação 1)

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a   (Equação 2)

x1.x2.x3 = -d/a         (Equação 3)

Outro detalhe importante, como x1, x2 e x3 formam uma PA, então podemos dizer que as raízes são:

(x1 ; x2 ; x3)   =   ( x1; x1+r; x1+2r)


Vamos desenvolver as equações:

Equação 1

x1+x2+x3 = -b/a

x1 + x1 + r + x1 + 2r = -(-3) / 1= 3

3x1 + 3r = 3

x1 + r = 1


Equação 3

x1.x2.x3 = -d/a

(x1) ( x1 + r) ( x1 + 2r) = -k/1 = -k

x1 (1) ( 1 + r) = -k

x1 ( 1 + r) = - k


Equação 2

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a = -6/1 = -6

x1 . ( x1 + r)  + x1 . ( x1 + 2r) + (x1+r) ( x1+2r ) = -6

x1 ( 1) + x1 . (1 + r) + (1) ( 1 + r) = -6

x1 + (-k) + 1 + r = -6

x1 + r  - k + 1 = - 6

1 - k = -7

-k = -8

k = 8

Finalmente k/2 = 4.  Alternativa correta é a letra B.

Confira as listas de exercícios resolvidos a seguir:

Exercícios de Equações Polinomiais e Relações de Girard.

Exercícios de Progressão Aritmética e Geométrica.

Um forte abraço e bons estudos.