(EPCAR 2024)  Uma piscina no formato de um paralelepípedo reto-retângulo tem altura interna H(x) = x − 4 , em m, e seu volume é dado pelo polinômio V(x) = x³ − 9x² + 26x − 24, em m³ , para todo x real, x > 4  Considere S(x) como o polinômio que representa a área da base dessa piscina.  Se S(x) = 12 m² , então o volume dessa piscina, em m³ , é  a) 18  b) 24  c) 30  d) 36 Solução:  questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar)  -  Exame de Admissão ao CPCAR 2024  (prova aplicada no dia 02/07/2023). Uma questão interessante da EPCAR que aborda mais de uma área da matemática.  Da geometria espacial, sabemos que o volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado pelo produto da área da base vezes a altura deste sólido geométrico. V = (área da base ) x (altura) Utilizando os polinômios do enunciado que representam estes elementos, temos V(x) =  S(x)  .  H(x) Agora, vamos aplicar os...

(UNICAMP 2022) As figuras abaixo ilustram, respectivamente, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥). Então f(g(-1)) - g(f(1)) vale: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2022. Prova aplicada no dia 07/11/2021. Para resolvermos essa questão, basta analisarmos o gráfico para obtermos os pontos necessários: g(-1) :  repare no gráfico de g(x) que quando o valor de x = -1, então o valor de y vale -1.  Sendo assim,  g(-1) =  -1 f(1) : repare no gráfico de f(x) que quando o valor de x = 1, então o valor de y vale 0.  Sendo assim,  f(1) = 0 Vamos atualizar nossa expressão: f( g(-1) ) - g( f(1) ) f(-1) - g(0) Agora, basta novamente obter os valores de f(-1) e g(0) no gráfico: g(0) = -2 f(-1) = 2 Finalmente, temos que f(-1) - g(0) 2 - (-2) 2 + 2 4   Alternativa correta é a letra d). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da UNICAMP. Um forte abraço e bons estudos.

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões de matemática que envolvem os seguintes tipos de funções: Função do 1° Grau; Função do 2° Grau; Função do 3º Grau; Função Exponencial; Função Logarítmica; Função Modular; Função Trigonométrica; Função Composta. As questões são provenientes de vestibulares e concursos para você que está se preparando para exames deste ano. Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos as questões e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso na sua preparação para vestibulares e concursos nesta disciplina da matemática. >> Questões de Matemática Sobre Funções Exercício 1 - (ENEM 2020 Digital) Uma fatura mensal de água é composta por uma taxa fixa, independentemente do gasto, mais uma parte relativa ao consumo de água, em metro cúbico. O gráfico relaciona o valor da fatura com o volume de água gasto em uma residência no mês de novembro, representando uma semirreta. Observa-se que, nesse mês, houve um consum...

Caro estudante, Organizamos uma lista de exercícios resolvidos sobre Função do Terceiro 3º Grau, os exercícios são provenientes de questões de concursos militares e vestibular. Está preparado?  Então, bons estudos com nossa bateria de questões sobre Funções do Terceiro Grau.  Tente resolver as questões e depois confira a resolução de cada questão comentada com gabarito. Questão 1 -   (UNICAMP - 2020)  Seja a função polinomial do terceiro grau f(x) = x³ - x² - 2x + 1, definida para todo número real x. A figura abaixo exibe o gráfico de y=f(x), no plano cartesiano, em que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐶 é igual a  a) 2. b) 2√2. c) 3. d) 3√2. Link para a solução da questão 1 Questão 2  -   (EsPCEx  2019)  Sabe-se que as raízes da equação x³-3x²-6x+k=0 estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de k/2 é igual a a) 5/2  b) 4    c) 7/2    d) 3  ...

(EsPCEx 2020) Se o polinômio p(x)= x³ + ax² - 13x + 12 tem x=1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que  [A] x=1é raiz de multiplicidade 2. [B] as outras raízes são complexas não reais. [C] as outras raízes são negativas. [D] a soma das raízes é igual a zero. [E] apenas uma raiz não é quadrado perfeito. Solução: nesta questão de polinômios da EsPCEx 2020 vamos iniciar obtendo o valor de a, aplicando x=1 no polinômio e igualando o resultado a 0, uma vez que 1 é raiz deste polinômio. P(1)=0=1³ + a.1² - 13.1 + 12 1+a-13+12 = 0 a = 0 Então, p(x) = x³ - 13x + 12 Como x=1 é raiz, vamos dividir p(x) por x -1 e encontraremos (x² + x -12).   ** Tem dificuldades em como fazer a divisão de polinômios? Então, veja como dividir polinômios passo a passo aqui. Logo, p(x) = x³ - 13x + 12 = (x-1).(x²+x-12) Podemos encontrar as raízes de x² + x -12 usando a fórmula de Bhaskara . x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac Δ = b² - 4ac Δ = 1² - 4(1)(-12) Δ ...

(EsPCEx - Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2019) Sabe-se que as raízes da equação x³-3x²-6x+k=0 estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de k/2 é igual a a) 5/2 b) 4    c) 7/2    d) 3    e) 9/2 Solução:  questão muito interessante de equações polinomiais e progressão aritmética.  Vamos utilizar  as relações de Girard no desenvolvimento dessa questão. Sejam, x1, x2 e x3 as raízes da equação polinomial de grau 3 do tipo a.x³ + b.x²+cx + d = 0 Então, aplicam-se as relações de Girard: x1+x2+x3 = -b/a     (Equação 1) x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a   (Equação 2) x1.x2.x3 = -d/a         (Equação 3) Outro detalhe importante, como x1, x2 e x3 formam uma PA, então podemos dizer que as raízes são: (x1 ; x2 ; x3)   =   ( x1; x1+r; x1+2r) Vamos desenvolver as equações: Equação 1 x1+x2+x3 = -b/a x1 + x1 + r + x1 + 2r = -(-3) / 1= 3 3x1 + 3r = 3 x1 + ...

(UNICAMP - 2020)  Seja a função polinomial do terceiro grau f(x) = x³ - x² - 2x + 1, definida para todo número real x. A figura abaixo exibe o gráfico de y=f(x), no plano cartesiano, em que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐶 é igual a a) 2. b) 2√2. c) 3. d) 3√2. Solução:  questão muito boa sobre gráficos e polinômios.  Repare que os pontos A, B e C têm ordenadas iguais.  Pelo gráfico, podemos visualizar que B está na abscissa (x = 0).  Logo, o ponto B é (0,y). Podemos encontrar y, aplicando o valor x=0 em f(x) = x³ - x² - 2x + 1 f(0) = 0³ - 0² - 2.0 + 1 f(0) = 1 Agora, já sabemos que os pontos A, B e C estão na altura (y=1). Sabemos que xB = 0, para calcularmos os valores de xA e xC, basta resolvermos: 1 = x³ - x² - 2x + 1 x³ - x² - 2x=0 x(x² - x -2)=0 x = 0 ou  x²-x-2 =0   Vamos resolver esta equação do segundo grau pelo método de Bhaskara. x = (-b ± √Δ) / ...

(Professor Matemática - SEAP/DF 2013 - Banca IBFC) - A área da região limitada pelo gráfico da função f(x)= x³, o eixo das abscissas e as retas x = -2 e x = 2, em unidades quadradas, é igual a: a) 0  b) 4   c)  8  d) 2,5 Esta prova pode ser baixada no site PCI Concursos, link para a prova . Questão interessante onde precisamos calcular a área do gráfico de uma função limitada pelo eixo x e pelas retas informadas.  Para isso teremos que utilizar as técnicas de integração.   Primeiramente vejamos um rápido esboço gráfico da função f(x) = x³, facilitando assim a nossa visualização do problema. Nosso objetivo é calcular por meio da integral definida a área total (AT), que pode ser feita pela soma de A1 com A2.  Perceba que A1 = A2, logo podemos calcular apenas uma delas e depois multiplicar esse valor encontrado por 2. AT = A1 + A2 = A1 + A1 = 2A1 AT = 2 [(2 4 /4) – (0 4 /4) ] AT = 2 [4-0] AT = 2.4 = 8 L...