(EsPCEx 2020) Se o polinômio p(x)= x³ + ax² - 13x + 12 tem x=1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que 

[A] x=1é raiz de multiplicidade 2.
[B] as outras raízes são complexas não reais.
[C] as outras raízes são negativas.
[D] a soma das raízes é igual a zero.
[E] apenas uma raiz não é quadrado perfeito.

Solução: nesta questão de polinômios da EsPCEx 2020 vamos iniciar obtendo o valor de a, aplicando x=1 no polinômio e igualando o resultado a 0, uma vez que 1 é raiz deste polinômio.

P(1)=0=1³ + a.1² - 13.1 + 12
1+a-13+12 = 0
a = 0

Então, p(x) = x³ - 13x + 12

Como x=1 é raiz, vamos dividir p(x) por x -1 e encontraremos (x² + x -12).  


Logo, p(x) = x³ - 13x + 12 = (x-1).(x²+x-12)

Podemos encontrar as raízes de x² + x -12 usando a fórmula de Bhaskara.

x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4(1)(-12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49
√Δ = 7

x = ( -1 ± 7) / 2.1
x = 6/2 = 3   
x=-8/2 = -4

As raízes do polinômio são:  1, 3 e -4.   E sendo assim, a alternativa correta é a letra D.

Curiosidade: este polinômio p(x) pode ser escrito da forma (x-r1)(x-r2)(x-r3) onde r1, r2 e r3 são as suas raízes ( 1 ; 3 ; -4 ).   Então:  p(x) = (x-1)(x-3)(x+4)  =  x³ - 13x + 12

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Um forte abraço e bons estudos.