(EPCAR 2024) Uma piscina no formato de um paralelepípedo reto-retângulo tem altura interna H(x) = x − 4 , em m, e seu volume é dado pelo polinômio V(x) = x³ − 9x² + 26x − 24, em m³ , para todo x real, x > 4 

Considere S(x) como o polinômio que representa a área da base dessa piscina. 

Se S(x) = 12 m² , então o volume dessa piscina, em m³ , é 

a) 18  b) 24  c) 30  d) 36

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2024 (prova aplicada no dia 02/07/2023).

Uma questão interessante da EPCAR que aborda mais de uma área da matemática.  Da geometria espacial, sabemos que o volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado pelo produto da área da base vezes a altura deste sólido geométrico.

V = (área da base ) x (altura)

Utilizando os polinômios do enunciado que representam estes elementos, temos

V(x) =  S(x)  .  H(x)

Agora, vamos aplicar os polinômios respectivos para V(x) e H(x)

x³ − 9x² + 26x − 24 =  S(x) . (x − 4) 

Agora, vamos isolar S(x)

S(x) = (x³ − 9x² + 26x − 24) / (x - 4)

Neste ponto, precisamos efetuar a divisão de polinômios, com isso, chegaremos no polinômio de S(x)

>> Caso necessário, revise no artigo a seguir: como fazer divisão de polinômios.

Ao efetuar a divisão de polinômios chegaremos em S(x) =  x² - 5x + 6

Se S(x) = 12 m² , então podemos encontrar o valor de x

x² - 5x + 6 = 12
x² - 5x - 6 = 0

Você pode resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara, ou também por meio das relações de Girard de soma e produto de duas raízes de uma equação do segundo grau.

Soma das raízes  = -b/a = -(-5)/1= 5/1 = 5
Produto das raízes = c/a = -6/1 = - 6

Essas raízes só podem ser +6 e -1

Porém, não podemos esquecer que x > 4 ,  então descartamos x = -1 e ficamos apenas com x = 6.

A partir de agora, já podemos obter o volume do paralelepípedo reto-retângulo.  Uma das formas seria aplicar x = 6 no polinômio 

V(x) = x³ − 9x² + 26x − 24   

Entretanto, este caminho seria mais trabalhoso.  Será mais conveniente utilizar V(x) no formato

V(x) = S(x) . H(x)
V(x) = 12 . (x - 4)

Aplicamos agora x = 6

V(6) = 12 . (6 - 4)
V(6) = 12 . (2)
V(6) = 24 m³

Alternativa correta é a letra b).

Obs:  como exercício, você pode aplicar x = 6 em V(x) = x³ − 9x² + 26x − 24   e chegará também em 24 m³.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.