(UNICAMP - 2020) Seja a função polinomial do terceiro grau f(x) = x³ - x² - 2x + 1, definida para todo número real x. A figura abaixo exibe o gráfico de y=f(x), no plano cartesiano, em que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐶 é igual a

(UNICAMP - 2020) Seja a função polinomial do terceiro grau f(x) = x³ - x² - 2x + 1, definida para todo número real x. A figura abaixo exibe o gráfico de y=f(x), no plano cartesiano, em que os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐶 é igual a

a) 2.

b) 2√2.

c) 3.

d) 3√2.

Solução:  questão muito boa sobre gráficos e polinômios.  Repare que os pontos A, B e C têm ordenadas iguais.  Pelo gráfico, podemos visualizar que B está na abscissa (x = 0).  Logo, o ponto B é (0,y).

Podemos encontrar y, aplicando o valor x=0 em f(x) = x³ - x² - 2x + 1

f(0) = 0³ - 0² - 2.0 + 1
f(0) = 1

Agora, já sabemos que os pontos A, B e C estão na altura (y=1).

Sabemos que xB = 0, para calcularmos os valores de xA e xC, basta resolvermos:

1 = x³ - x² - 2x + 1

x³ - x² - 2x=0

x(x² - x -2)=0

x = 0 ou 

x²-x-2 =0  

Vamos resolver esta equação do segundo grau pelo método de Bhaskara.

x = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4.1.(-2) 

Δ = 1 + 8

Δ = 9

√Δ = 3

x = (1 ± 3 )/2

x1 = 4/2   e x2 = -2/2 

x1 = 2   e x2 = -1 

A solução para equação polinomial x³ - x² - 2x=0 é o conjunto {-1, 0, 2}.  Vejamos agora quem são os pontos A, B e C no gráfico

Agora ficou tranquilo calcular: a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐶 é igual a 3. A alternativa correta é a letra C.

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