(Vunesp 2020) O quilate do ouro é a razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada por 24. Por exemplo, uma amostra com 18 partes em massa de ouro e 6 partes em massa de outro metal (ou liga metálica) é um ouro de 18 quilates. Assim, um objeto de ouro de 18 quilates tem 3/4 de ouro e 1/4 de outro metal em massa. 

O ouro é utilizado na confecção de muitos objetos, inclusive em premiações esportivas. A taça da copa do mundo de futebol masculino é um exemplo desses objetos. 

A FIFA declara que a taça da copa do mundo de futebol masculino é maciça (sem nenhuma parte oca) e sua massa é de pouco mais de 6 kg. Acontece que, se a taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela pesaria mais do que o informado. 

(“O peso da taça”. https://ipemsp.wordpress.com. Adaptado.) 

Considere que a taça seja feita apenas com ouro 18 quilates, cuja composição é de ouro com densidade 19,3 g/cm³ e uma liga metálica com densidade 6,1 g/cm³ , e que o volume da taça é similar ao de um cilindro reto com 5 cm de raio e 36 cm de altura. 

Utilizando π = 3, se a taça fosse maciça, sua massa teria um valor entre 

(A) 30 kg e 35 kg. 

(B) 15 kg e 20 kg. 

(C) 40 kg e 45 kg. 

(D) 10 kg e 15 kg. 

(E) 20 kg e 25 kg.

Solução:  questão muito interessante da Vunesp 2020 que exige do candidato o conhecimento da fórmula do volume do cilindro e também a fórmula da densidade.   Em nosso problema, vamos considerar as seguintes variáveis:

Mo = massa do ouro
Do = densidade do ouro
Vo = volume do ouro

Mm = Massa do outro metal
Dm = densidade do outro metal
Vm = volume do outro metal


Para o caso do ouro 18 quilates, temos que 

[ Mo / (Mo + Mm) ] x 24 = 18   (desenvolvendo a equação, chegaremos que Mo = 3 Mm)

O volume do cilindro pode ser obtido por meio da fórmula Vc = π . R² . h
Sendo assim, o volume total da taça será de V = 3 . 5² . 36 = 2700 cm³

Sabemos que o volume total da taça é igual a soma dos volumes em ouro e metal.

2700 = Vo + Vm

Sabemos também que a densidade é igual a massa dividida pelo volume, ou seja, d = m/v.  Do mesmo modo,  v = m/d. Substituindo, teremos:

2700 = Mo / Do + Mm / Dm   (aplicaremos Mo = 3 Mm)
2700 = 3 Mm / 19,3 + Mm / 6,1
2700 ≅ 0,16 Mm +  0,16 Mm
2700 ≅ 0,32 Mm
Mm ≅ 8437g

Logo Mo = 3 Mm ≅ 3 x 8437 ≅ 25311 g

A massa total  da taça MT = Mm + Mo ≅ 8437 + 25311 ≅ 33748 gramas ou aproximadamente 33,7 kg. Alternativa correta é a letra A.

Confira mais questões sobre o tema:

>> Geometria Espacial - volume dos principais sólidos com exercícios

Um forte abraço e bons estudos.