(CEDERJ 2020.2) Admita que, em uma família, Antônio é 9 anos mais velho do que João e 36 anos mais novo do que Pedro.  Se as idades de João, Antônio e Pedro formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, a soma dos algarismos do número que representa, em anos, a idade de Antônio é:

a) 2  b) 3  c) 4  d) 5

Solução:  esta é uma questão de problemas matemáticos que envolve a solução de sistemas lineares.  Além disso, teremos que aplicar conceitos de PG (Progressão Geométrica).

Sejam:
 
J = idade de João
A = idade de Antônio
P = idade de Pedro

A = J + 9   ou  também  J = A - 9
A = P - 36  ou também  P = A + 36

Apenas essas equações não são suficientes para resolvermos o sistema.  Entretanto, temos a informação de que as idades J, A, P estão em progressão geométrica.  

PG: { J        ,   A   ,     P      }
PG: { A - 9  ,  A   ,  A + 36 }

Sendo assim, A/J = razão e P/A = razão.  Logo, A/J = P/A.  Agora vamos igualar:

A / (A - 9) = (A + 36) / A
A² = (A - 9)(A + 36)
A² = A² + 36A - 9A - 324
27A = 324
A = 12

Curiosidade: repare que {J, A, P} formam uma PG de razão 4 {3, 12, 48}.

O objetivo da questão é calcular a soma dos algarismos do número que representa, em anos, a idade de Antônio que é 1 + 2 = 3 (Alternativa correta é a letra B)

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Um forte abraço e bons estudos.