(CEDERJ 2020.2) Admita que, em uma família, Antônio é 9 anos mais velho do que João e 36 anos mais novo do que Pedro.  Se as idades de João, Antônio e Pedro formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, a soma dos algarismos do número que representa, em anos, a idade de Antônio é:

a) 2  b) 3  c) 4  d) 5

Solução:  esta é uma questão de problemas matemáticos que envolve a solução de sistemas lineares.  Além disso, teremos que aplicar conceitos de PG (Progressão Geométrica).

Seja 
J = idade de João
A = idade de Antônio
P = idade de Pedro

A = J + 9
A = P - 36

Apenas essas equações não são suficientes para resolvermos o sistema.  Entretanto, temos a informação de que as idades J, A, P estão em progressão geométrica.  

Sendo assim, A/J = razão e P/A = razão.  Logo, A/J = P/A.  Nesta equação, vamos colocar  todos em função de J.

A = J+9
P = A + 36 = J + 9 + 36  
P = J + 45

Aplicando (A=J+9) e (P = J +45) na equação A/J = P/A

(J+9) / J = (J + 45) / (J + 9)
(J+9)² = J (J+45)
J² + 18J + 81 = J² + 45J
81 = 27J
J = 3

Logo A = 3+9 = 12   e   P = 3 + 45 = 48

Curiosidade: repare que {J, A, P} forma uma PG de razão 4 {3, 12, 48}.

O objetivo da questão é calcular a soma dos algarismos do número que representa, em anos, a idade de Antônio que é 1 + 2 = 3 (Alternativa correta é a letra B)

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Um forte abraço e bons estudos.