(Fuvest 2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha  horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.


Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2 ), qual é o comprimento da trajetória  percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente?


Solução: questão muito interessante que envolve geometria, relações trigonométricas no triângulo retângulo (obtenção de ângulos por meio de relações seno, cosseno e tangente), Teorema de Pitágoras e cálculo de comprimento de arcos.  

O triângulo ABC retângulo em A, possui medidas (AB = 1 e BC = 2 ).  Sendo assim, podemos encontrar o segmento AC por meio do Teorema de Pitágoras.

BC² = AB² + AC²
2² = 1² + AC²
AC² = 4 - 1 = 3
AC = √3

Para realizarmos o cálculo da trajetória de B, vamos desenhar nosso problema:


(Clique sobre as imagens para melhor visualização)

Essa é a condição dada no enunciado, agora vamos desenhar a trajetória percorrida por B nos três movimentos do triângulo.



Movimento 1  

O movimento de B forma um arco de (180° - θ)  e raio igual a 2. 
** Veremos logo ali na frente que θ vale 30º.

Movimento 2

O movimento de B forma um arco de 90° e raio igual a 1.

Movimento 3

Trajetória de B vale 0, pois ele não se movimentou.

Agora basta calcular os movimentos 1 e 2 e somá-los.  Um detalhe importante está no cálculo desse ângulo θ.  Podemos encontrá-lo por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo.  

tg θ = cateto oposto / cateto adjacente.
tg θ = 1/ √3
tg θ = 1/ √3 * √3/√3
tg θ = (√3)/3   sendo assim, θ = 30º

>> Aproveite e confira aqui uma tabela de seno, cosseno e tangente.


A fórmula do comprimento de um arco é dada por C = α . R   ( onde α é o ângulo em radianos e R o raio)

Os ângulos 150º e 90º, em radianos, são respectivamente: 5π/6 e π/2.

Comprimento do Movimento 1 = 5π/6  .  2 =  5π/3
Comprimento do Movimento 1 = π/2  .  1 =  π/2

Finalmente, o comprimento da trajetória  percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente é de 5π/3 + π/2 = 13π/6  [alternativa correta é a letra C]

Aproveite e confira uma bateria de questões resolvidas sobre as relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Um forte abraço e bons estudos.