(UNICAMP 2018) Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 +𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então
(UNICAMP 2018) Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 +𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então
a) |𝑧| = 1/√3.
b) |𝑧| = 1/√5.
c) |𝑧| = √3.
d) |𝑧| = √5.
Solução: quando um número complexo z = a+bi é raiz de um polinômio, então seu conjugado z = a-bi também é. Logo, as raízes da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 são:z1 = a +bi
z2 = a - bi
Pelas Relações de Girard, temos para a equação do segundo grau do tipo a.x² + b.x + c = 0 e suas raízes x1 e x2, as seguintes relações de soma e produto:
x1+x2 = -b/a
x1.x2 = c/a
A equação dada no enunciado é: 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0. É preciso ter cuidado para não confundir os coeficientes ao aplicar as Relações de Girard:
x1+x2 = -b/1
x1.x2 = a/1
Vamos trocar x1 por z1 e x2 por z2.
(a +bi) + (a - bi) = -b
(a +bi) . (a - bi) = a
2a = -b
a² - b².i² = a
b = -2a (I)
a² + b² = a (II)
Aplicando I em II
a² + (-2a)² = a
a² + 4a² -a = 0
5a² - a = 0
a(5a -1) = 0
a= 0 [não satisfaz condição inicial do enunciado de que "a" e "b" são não nulos]
ou
5a-1=0
a = 1/5
A partir daqui vamos tomar o caminho 1.
Poderíamos até calcular b, mas repare que da equação (II) a² + b² = a = 1/5.
Como nosso objetivo é calcular |z| = √(a² + b²) = √(1/5) = 1/√5 [Alternativa correta é a letra B]
Curiosidade: usando o caminho 2, calculando b.
Havíamos achado que a=1/5, como da equação (I) b = -2a , então b = -2/5.
Logo, z = 1/5 - 2/5 i
|z| = √[(1/5)² + (-2/5)²]
|z| = √[(1/25) + (4/25)]
|z| = √(5/25)
|z| = √(1/5)
|z| = 1/√5 [Alternativa correta é a letra B]
Um outro método de resolução, seria você aplicar o valor, 𝑧 = 𝑎 +𝑏𝑖 na equação 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0. Fazendo isso, os valores a=1/5 e b = -2/5 também seriam encontrados.
Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Números Complexos - Resolvidos.
Um forte abraço e bons estudos.
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