(UNICAMP 2018) Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 +𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então

(UNICAMP 2018)  Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 +𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então

a) |𝑧| = 1/√3. 

b) |𝑧| = 1/√5. 

c) |𝑧| = √3. 

d) |𝑧| = √5.

Solução: quando um número complexo z = a+bi é raiz de um polinômio, então seu conjugado z = a-bi também é.  Logo, as raízes da equação quadrática 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 são:

z1 = a +bi

z2 = a - bi

Pelas Relações de Girard, temos para a equação do segundo grau do tipo a.x² + b.x + c = 0 e suas raízes x1 e x2, as seguintes relações de soma e produto:

x1+x2 = -b/a

x1.x2 = c/a

A equação dada no enunciado é: 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.  É preciso ter cuidado para não confundir os coeficientes ao aplicar as Relações de Girard:

x1+x2 = -b/1

x1.x2 = a/1

Vamos trocar x1 por z1 e x2 por z2.

(a +bi) + (a - bi) = -b

(a +bi) . (a - bi) = a

2a = -b

a² - b².i² = a

b = -2a        (I)

a² + b² = a   (II) 

Aplicando I em II

a² + (-2a)² = a

a² + 4a² -a = 0

5a² - a = 0

a(5a -1) = 0

a= 0   [não satisfaz condição inicial do enunciado de que "a" e "b" são não nulos] 

ou 

5a-1=0

a = 1/5

A partir daqui vamos tomar o caminho 1.

Poderíamos até calcular b, mas repare que da equação (II) a² + b² = a = 1/5.

Como nosso objetivo é calcular |z| = √(a² + b²) = √(1/5) = 1/√5  [Alternativa correta é a letra B]

Curiosidade:  usando o caminho 2, calculando b.

Havíamos achado que a=1/5, como da equação (I) b = -2a  , então b = -2/5.

Logo, z = 1/5 - 2/5 i

|z| = √[(1/5)² + (-2/5)²] 

|z| = √[(1/25) + (4/25)] 

|z| = √(5/25)

|z| = √(1/5)

|z| = 1/√5  [Alternativa correta é a letra B]

Um outro método de resolução, seria você aplicar o valor,  𝑧 = 𝑎 +𝑏𝑖  na equação 𝑥² +𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.  Fazendo isso, os valores a=1/5 e b = -2/5 também seriam encontrados.

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Números Complexos - Resolvidos.

Um forte abraço e bons estudos.