(Concurso: Professor de Matemática da Educação Básica -Prefeitura de Teresina. 2019 Banca: NUCEPE) Qual a área do triângulo ABC da figura a seguir, sabendo que, BD = 8, DE = 4, EC = 12 e BF = FC = 6?

a) 9√3
b) 18√3
c) 36√3
d) 54√3
e) 72√3

Solução: questão bem interessante que engloba temas como área do triângulo equilátero, propriedades da mediana no triângulo e o baricentro (ponto de encontro das medianas).   Vamos inserir na figura inicial as medidas fornecidas pelo enunciado para fazermos uma melhor interpretação do problema.
Perceba que com essas medidas o triângulo BCE é equilátero.  A área de um triângulo equilátero de lado (l=12) é igual a:

(l²√3)/4 = (12²√3)/4 = 12.3√3 = 36√3

Repare que o segmento AF é uma mediana, pois corta o lado AC em dois segmentos iguais.  O segmento BE também é uma mediana, pois a distância BD é duas vezes a distância DE.  Podemos concluir também que D é o baricentro (encontro das medianas) deste triângulo.  Uma das propriedades das medianas é a seguinte: a mediana BE está dividindo o triângulo ABC em dois triângulos de áreas iguais, sendo assim:

Área de BEA = Área de BCE
Área de BEA = 36√3

Área de ABC = Área de BCE + Área de BEA
Área de ABC = 36√3 + 36√3
Área de ABC = 72√3. Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com questões sobre mediana e suas propriedades no triângulo.

Um forte abraço e bons estudos.