(ENEM 2024) Questão de Estatística Básica que envolve cálculo de mediana. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM .

(Caixa Econômica Federal - 2024)  A Carteira de Finanças Sustentáveis da Caixa Econômica Federal contém iniciativas por meio das quais a instituição visa contribuir para uma sociedade mais justa e sustentável. Na apresentação de resultados do terceiro trimestre de 2023, a Caixa Econômica Federal divulgou que o valor total dessa carteira era de R$ 720,7 bilhões, conforme descrito a seguir. A mediana dos valores da carteira dos produtos, em bilhões de reais, é, aproximadamente,  (A) 120 (B) 62 (C) 52 (D) 42 (E) 31  Solução:  questão de Noções de Probabilidade e Estatística do Concurso Público de 2024 da Caixa Econômica Federal, cargo: Técnico Bancário Novo, Banca examinadora: Fundação Cesgranrio.   Prova aplicada em 26/05/2024. Para calcularmos a mediana, vamos ordenar os valores da coluna 2. 8,4 | 9,5 | 31,9 | 51,7 | 95,4 | 523,8 A quantidade de valores é igual 6, um número par, logo, vamos obter a mediana calculando a média do terceiro e do quarto valor. M...

( UNICAMP 2023 )  A figura seguinte mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M é o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa. O valor de sen α é a) 24/25. b) 5/6. c) 1/2. d) √ 3 /2. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022. Uma questão bem interessante de geometria plana englobando várias disciplinas da geometria.  Podemos notar que o segmento CM é uma mediana, ou seja, é um segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e alcança o lado oposto exatamente no seu ponto médio. Para resolvermos essa questão, vamos utilizar a propriedade da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo , que define que em um triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos com a mesma medida da mediana. Deste modo, podemos notar que os segmentos CM (mediana),  AM e MB são iguais a 5.  Ou seja, a hipotenusa AB do triângulo retângulo vale 10. Com isso, podemos ...

(EEAR CFS 1/2023) A mediana dos dados apresentados na tabela é a) 6 b) 7 c) 6,5 d) 7,5  Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022. Na tabela, a coluna valor está em ordem crescente, pois os valores são {4,5,6,7,8,9}, exatamente conforme precisamos. A coluna fi representa a frequência absoluta (quantidade de vezes que o valor apareceu).  Por exemplo, o valor 4 foi contado 1 vez, já o valor 5 foi contado 3 vezes, já o valor 6 foi contado 4 vezes, etc. Agora, vamos somar todos os elementos da coluna fi:  1 + 3 + 4  + 8 + 6 + 5 = 27.  Isto quer dizer que nosso conjunto de dados é formado por 27 valores, de modo que 1 deles vale 4;  3 deles valem 5; 4 deles valem 6, etc. Com os dados ordenados de forma crescente, a mediana é o termo que divide essa série ao meio.  Como existem 27 elementos, então o 14º elemento será a mediana. ...

(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ)  A medida do apótema do triângulo equilátero inscrito em um círculo cujo raio mede √3 é igual a: a) √3 b) 3 c) 6 d) 3/2 e)  √3       2 Solução:  questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014. Vamos ilustrar a resolução deste problema, onde R = raio do círculo = √3 a = apótema do triângulo equilátero  (nosso objetivo) Note que o apótema do triângulo equilátero é a medida ( a ) que parte do baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo e alcança um de seus lados formando com este um ângulo de 90°. Sabemos que no triângulo equilátero ABC a altura, mediana e bissetriz, referente a cada lado, estão sobre a mesma reta.  Podemos perceber que o segmento AA' é a mediana referente ao lado BC.  Na mediana, uma relação muito importante é a seguinte: AO = 2 x OA' Ou seja, na mediana,...

(EEAR CFS 1/2022) Seja ABC um triângulo tal que  = 60°, conforme a figura. Assim, tem-se que FD = _____.  a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Questão muito interessante sobre a mediana do triângulo.  A mediana é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e alcança o lado oposto exatamente no seu ponto médio.  Perceba que CD parte de C e alcança o lado AB exatamente em seu ponto médio D.  Simplificando, a mediana CD está "dividindo" o lado AB em dois segmentos iguais de comprimento igual a 6.  Perceba que BE também é uma mediana, pois também parte de um vértice (B) e "divide" o segmento oposto (AC) em dois segmentos iguais.  O ponto F é o baricentro deste triângulo, baricentro é o ponto de encontro das medianas. >> Você pode praticar mais sobre cevianas de um triângulo por aqui:  cevianas (m...

(Professor de Educação Básica II - Matemática - Prefeitura de Itatiba SP - Banca: Avança SP) Um triângulo equilátero tem seus valores com as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A (2,1), B (5,1) e C (2,4) Quais as coordenadas do baricentro desse triângulo? (A) G = (1,2) (B) G = (3,2) (C) G = (3,4) (D) G = (4,5) (E) G = (5,6) Solução: questão sobre geometria analítica envolvendo as coordenadas do baricentro (encontro das medianas) de um triângulo equilátero. Sejam A, B e C os três vértices de um triângulo, respectivamente com coordenadas (Xa, Ya), (Xb, Yb) e (Xc, Yc), então as coordenadas G = (Xg, Yg) de seu baricentro serão: G = ( Xa + Xb + Xc ,  Ya + Yb + Yc )                         3                      3 Para resolver a questão, basta aplicarmos essa fórmula: G = (  (2 + 5 + 2)/3  ;  (1 + 1 + 4)/3  ) G = (3;2) Alternativa correta ...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões de matemática sobre as principais cevianas de um triângulo (mediana, bissetriz e altura). As questões são provenientes de  concursos públicos, concursos de carreiras militares e vestibulares para você que está se preparando para exames deste ano.   Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos os exercícios e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso nos estudos. Exercícios Resolvidos sobre Cevianas (mediana, bissetriz e altura) Exercício 1 -   (Concurso: Professor de Matemática da Educação Básica -Prefeitura de Teresina. 2019 Banca: NUCEPE)  Qual a área do triângulo ABC da figura a seguir, sabendo que, BD = 8, DE = 4, EC = 12 e BF = FC = 6? a) 9√3 b) 18√3 c) 36√3 d) 54√3 e) 72√3 >> Resolução do exercício  Exercício 2 - (Colégio Naval 2018) Analise a figura a seguir. Essa figura representa o paralelogramo ABCD, cujas medidas dos lados são AB=CD=3cm, BC=AD...

(Colégio Naval 2020) Observe a figura a seguir Na figura temos um triângulo equilátero ABC de baricentro G e o triângulo ABG cujo incentro é I.  É correto afirmar que o suplemento do ângulo GAI em radianos é igual a: a) 7π/9     b) 5π6    c) 8π/9    d) 9π/10    e) 11π/12 Solução:   questão de matemática do Colégio Naval 2020 de geometria onde precisamos dos conceitos de baricentro e incentro. Em um triângulo: Baricentro é o ponto de encontro das medianas. Incentro é o ponto de encontro das bissetrizes. Mediana é o segmento que parte de um vértice e alcança o lado oposto dividindo este lado em dois segmentos iguais. Bissetriz é o segmento que parte de um vértice, dividindo o ângulo deste vértice em dois ângulos iguais e alcança o lado oposto. Observe a figura a seguir: Num triângulo equilátero, as medianas, as bissetrizes e também as alturas estão sob a mesma reta, então o segmento de reta AF é mediana, bissetriz e alt...

(Concurso: Professor de Matemática da Educação Básica -Prefeitura de Teresina. 2019 Banca: NUCEPE) Qual a área do triângulo ABC da figura a seguir, sabendo que, BD = 8, DE = 4, EC = 12 e BF = FC = 6? a) 9√3 b) 18√3 c) 36√3 d) 54√3 e) 72√3 Solução: questão bem interessante que engloba temas como área do triângulo equilátero, propriedades da mediana no triângulo e o baricentro (ponto de encontro das medianas).   Vamos inserir na figura inicial as medidas fornecidas pelo enunciado para fazermos uma melhor interpretação do problema. Perceba que com essas medidas o triângulo BCE é equilátero.  A área de um triângulo equilátero de lado (l=12) é igual a: (l²√3)/4 = (12²√3)/4 = 12.3√3 = 36√3 O segmento AF é mediana do lado BC, pois F é ponto médio de BC.  O segmento BE também é uma mediana, pois a distância BD é duas vezes a distância DE.  Podemos concluir também que D é o baricentro (encontro das medianas) deste triângulo.  Uma das propriedades das medianas ...

( FUVEST 2021 ) Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se T é a área de cada um dos triângulos e Q a área de cada um dos quadrados, a área do pentágono é a) T + Q b) (1/2)T + (1/2)Q c) T + (1/2)Q d) (1/3)T+(1/4)Q e) (1/3)T+(1/2)Q Solução:  questão muito interessante de geometria plana do Vestibular da Fuvest 2021.  Analisando a figura e as opções de respostas que foram fornecidas, podemos resolvê-la com cálculos bem simples.  Ao final, deixarei uma solução um pouco mais elaborada. Repare que cada quadrado contribui com 1/4 de sua área para o pentágono.  Ou seja, como são dois quadrados, visualmente podemos perceber que eles contribuem com 1/4Q + 1/4Q = 1/2 Q. Agora vamos olhar para as opções de respostas, perceba que as letras a) e  d) dizem que o pentágono tem respectivamente Q e 1/4 Q.  Estes valores estão muito distant...

(UNICAMP 2019) No triângulo 𝐴𝐵𝐶 exibido na figura a seguir, 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐴𝐵, e 𝑁 é o ponto médio do lado 𝐴𝐶. Se a área do triângulo 𝑀𝐵𝑁 é igual a 𝑡, então a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a Solução:  questão de geometria plana do vestibular UNICAMP 2019 sobre medianas e áreas de triângulos.    Em primeiro lugar, repare dentro do triângulo ABC que o segmento de reta BN é a mediana relativa ao lado AC.  Deste modo, ela divide este triângulo ABC em dois triângulos menores de áreas idênticas.       Área de BN C = Área de BN A Em segundo lugar, repare dentro do triângulo ABN que o segmento de reta NM é a mediana relativa ao lado AB.  Deste modo, ela divide este triângulo ABN em dois triângulos menores de áreas idênticas.       Área de NM A = Área de NM B Do enunciado, a Área de NMB = t ; Logo, a Área de NMA = t Se somarmos as áreas de NMA + NMB teremos a Área de BNA = 2t Como a Área de BNA =...

(EsPCEx 2020) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5 Solução: questão muito boa de geometria da prova de 2020 da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx 2020).  Para simplificar nossos cálculos, vamos considerar que o quadrado tem lado igual a 10 e vamos ilustrar nosso problema. Na figura a seguir, repare alguns pontos e segmentos importantes: No triângulo ADE, o segmento AF é a mediana relativa ao lado DE, sendo assim, as áreas A1 e A2 são iguais, uma vez que a mediana divide um triângulo em dois triângulos menores de áreas iguais. Nossa estratégia será: (P1) obter a área do trapézio ABED (P2) obter a área do triângulo AEB (P3) Calcular a área de ADE por meio da subtração (P1)-(P2).   Este valor encontrado, corresponde a duas vezes a área do triângulo AFE. Com...

(EsPCEx 2020) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4cm, 4cm e 6cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a a) √14   b) √17  c) √18   d) √21   e)  √22 Solução:  questão muito interessante de geometria sobre o comprimento da mediana. Recomendo visitar o site:  https://www.math10.com/en/geometry/median.html   para ter uma melhor noção sobre fórmulas e aplicações da mediana. Acessado em 09/12/2020 às 16h43. Vamos ilustrar nosso triângulo ABC e a mediana relativa ao lado AB. Podemos aplicar a fórmula:   mAB = (1/2) . √ [ 2 (BC² + AC²) - AB² ]  mAB = (1/2) . √ [ 2 (6² + 4²) - 4² ]  mAB = (1/2) . √ [ 2 (36 + 16) - 16 ]  mAB = (1/2) . √ [ 2 (52) - 16 ]  mAB = (1/2) . √ [  104 - 16 ]  mAB = (1/2) . √ [  88 ] mAB = (1/2) . √ [2³.11]  mAB = (1/2) . 2 √ 22 mAB = √ 22  [ Alternativa correta é a letra E] Sem a ...