(EsPCEx 2020) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4cm, 4cm e 6cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a

a) √14   b) √17  c) √18   d) √21   e)  √22

Solução:  questão muito interessante de geometria sobre o comprimento da mediana. Recomendo visitar o site: https://www.math10.com/en/geometry/median.html  para ter uma melhor noção sobre fórmulas e aplicações da mediana. Acessado em 09/12/2020 às 16h43.

Vamos ilustrar nosso triângulo ABC e a mediana relativa ao lado AB.





Podemos aplicar a fórmula:  

mAB = 1/2 . √ [ 2 (BC² + AC²) - AB² ] 
mAB = 1/2 . √ [ 2 (6² + 4²) - 4² ] 
mAB = 1/2 . √ [ 2 (36 + 16) - 16 ] 
mAB = 1/2 . √ [ 2 (52) - 16 ] 
mAB = 1/2 . √ [  104 - 16 ] 
mAB = 1/2 . √ [  88 ]
mAB = 1/2 . √ [2³.11] 
mAB = 1/2 . 2 √ 22
mAB = √ 22  [Alternativa correta é a letra E]

Sem a fórmula acima, também podemos encontrar mAB por um caminho alternativo, mais trabalhoso, usando lei dos cossenos, vejamos a figura a seguir:



mAB²  =  (2)² + (6)²  -  2.(2).(6).cosθ
mAB²  =  40 - 24cosθ  

Agora precisamos encontrar cosθ . A mediana mAB criou dois triângulos (BCD e ACD) de áreas iguais. A área do triângulo ABC é de 3√7, logo  a área do triângulo BCD vale [3√7]/2. Com esta área podemos encontrar senθ.

Área de BCD = 1/2 x senθ x 2 x 6
senθ = [3√7]/12

Podemos obter cosθ usando a identidade trigonométrica (sen²θ + cos²θ = 1)

cosθ = 9/12

Agora é só aplicá-lo na fórmula da lei dos cossenos que já desenvolvemos.

mAB²  = 40 - 24 (9/12)
mAB²  = 40 - 18 = 22
mAB = √22

Um forte abraço e bons estudos.