( FUVEST 2021 ) Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se T é a área de cada um dos triângulos e Q a área de cada um dos quadrados, a área do pentágono é



a) T + Q
b) (1/2)T + (1/2)Q
c) T + (1/2)Q
d) (1/3)T+(1/4)Q
e) (1/3)T+(1/2)Q

Solução:  questão muito interessante de geometria plana do Vestibular da Fuvest 2021.  Analisando a figura e as opções de respostas que foram fornecidas, podemos resolvê-la com cálculos bem simples.  Ao final, deixarei uma solução um pouco mais elaborada.

Repare que cada quadrado contribui com 1/4 de sua área para o pentágono.  Ou seja, como são dois quadrados, visualmente podemos perceber que eles contribuem com 1/4Q + 1/4Q = 1/2 Q.

Agora vamos olhar para as opções de respostas, perceba que as letras a) e  d) dizem que o pentágono tem respectivamente Q e 1/4 Q.  Estes valores estão muito distantes da análise visual que fizemos da figura.  Outro fato interessante é que temos 3 opções de resposta que dizem que o pentágono possui (1/2)Q, são elas: b), c) e e).  São muitas opções de resposta que sugerem (1/2)Q, dando uma forte confirmação para nossa análise visual.  Como as outras opções de resposta, a) e d) estão muito distantes, vamos eliminá-las.

Vamos agora olhar para a figura do triângulo. Repare que, aparentemente, cada triângulo está contribuindo com 1/3 de sua área. É como se tivessem dividido o triângulo em 3 partes.  Como são 3 triângulos, podemos estimar que a área que os três triângulos contribuem para o pentágono é, ou está muito próxima de (1/3)T+(1/3)T+(1/3)T = 1T.  

Agora vamos analisar as opções de resposta b), c) e e).  A opção b) nos sugere  (1/2)T, o que está muito distante da realidade vista no desenho, estimada em 1T.  A opção c) nos sugere exatamente T e provavelmente será a opção escolhida, mas antes vamos analisar a letra e), que novamente "passa bem longe", pois sugere a área (1/3)T, muito pequena.

Sendo assim, a alternativa correta é a letra C. O pentágono irregular tem área T + (1/2)Q.

Foi possível fazer uma análise visual e eleger a opção c) por alguns motivos: 

I) o desenho das figuras geométricas do enunciado está muito bem feito;
II) as áreas representam figuras geométricas de simples visualização;
III) as opções de respostas propõem valores muito distantes uns dos outros, o que facilita a eliminação;
IV) ao fazer a análise eu já tinha também alguns conceitos de baricentro do triângulo e centro do quadrado, que ajudaram nas escolhas.

Agora, vamos desenhar um pouco mais e realizar essa questão com mais cálculos. Repare na figura a seguir:


O centro do quadrado está no encontro das diagonais, repare que a partir dele o quadrado que está contido no pentágono tem lado igual a metade do lado do quadrado.  Área do quadrado maior é dada por lado², já a área do quadrado menor é dada por (lado/2)² que é igual a lado²/4.  Este valor vale 1/4 da área do quadrado maior.  Então, cada quadrado de área Q contribui com 1/4 de Q para o pentágono irregular.  Como são dois, então eles vão contribuir com (1/4)Q + (1/4)Q = (1/2) Q.

O centro de cada triângulo está no ponto chamado baricentro (encontro das medianas). Repare na figura do triângulo equilátero, como as três medianas dividiram o triângulo em 3 regiões iguais, as quais foram coloridas com três cores diferentes.  Ou seja, cada triângulo de área T, está contribuindo com 1/3 de sua área (1/3)T para o pentágono irregular e como são três triângulos, então eles contribuem com (1/3)T + (1/3)T  + (1/3)T = T.

Finalmente, podemos dizer que a área do pentágono (AP) em função de Q e T vale:

AP = (1/4)Q + (1/4)Q + (1/3)T + (1/3)T  + (1/3)T
AP = (1/2) Q + T

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios sobre áreas de figuras planas.

Um forte abraço e bons estudos.