(UNICAMP 2023) A figura seguinte mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M é o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa.

O valor de sen α é

a) 24/25.
b) 5/6.
c) 1/2.
d) √3/2.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.

Uma questão bem interessante de geometria plana englobando várias disciplinas da geometria.  Podemos notar que o segmento CM é uma mediana, ou seja, é um segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e alcança o lado oposto exatamente no seu ponto médio.

Para resolvermos essa questão, vamos utilizar a propriedade da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, que define que em um triângulo retângulo, a mediana que parte do ângulo reto divide a hipotenusa em dois segmentos com a mesma medida da mediana.

Deste modo, podemos notar que os segmentos CM (mediana),  AM e MB são iguais a 5.  Ou seja, a hipotenusa AB do triângulo retângulo vale 10. Com isso, podemos visualizar que a medida do cateto CB é igual a 8, pois estamos diante de um triângulo com medidas proporcionais a 3-4-5.  Você também pode encontrar que CB vale 8 aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACB.  

No próximo passo, com estas medidas em mãos, vamos atualizar a figura.

Além das medidas calculadas, foi ilustrado também o ângulo β.  Vamos obter o sen α por meio da lei dos senos no triângulo BMC.

MC / sen β = BC / sen α 
5 / sen β = 8 / sen α 
5  sen α = 8 sen β
sen α = (8/5) sen β

Podemos encontrar sen β por meio das razões trigonométricas no triângulo retângulo ABC.

sen β = cateto oposto / hipotenusa
sen β = AC / AB
sen β = 6/10
sen β = 3/5

sen α = (8/5) . (3/5)
sen α = 24/25

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.