(UNICAMP 2021) A figura abaixo exibe um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 em que 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐶𝐷.

Com base na figura, tg(θ) + tg(α) é igual a 

a) 7   b) 6   c) 5   d) 4

Solução:  nesta questão de geometria do vestibular UNICAMP 2021, vamos usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo para resolvê-la, assim como propriedades da tangente. Repare que o triângulo MBC é retângulo e podemos calcular tg(α) = CB/MC.

tg(α) = lado / ( lado/2)
tg(α) = 2

Vamos fazer novas anotações em nosso desenho.


Perceba que o triângulo MCH, possui os ângulos α, θ e 45º. 

α + θ + 45º  = 180º 
α + θ = 135º
tg (α + θ) = tg (135º)

Sabemos que tg (135º) = - tg (45º) = -1 

tg (α + θ) = -1   

Aplicando a fórmula de tg (a+b) = [ tg(a) + tg(b) ] / [ 1 - tg(a).tg(b) ]

[ tg(α) + tg(θ) ]  / [ 1 - tg(α).tg(θ) ]  = -1
[ 2 + tg(θ) ]  / [ 1 - 2.tg(θ) ]  = -1
2 + tg(θ)  = -1 . [ 1 - 2.tg(θ) ]
2 + tg(θ)  = -1 + 2.tg(θ) 
tg(θ) = 3

Finalmente, podemos calcular o objetivo da questão: tg(θ) + tg(α) = 3 + 2 = 5 [alternativa correta é a letra C]

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios Resolvidos sobre Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo.

Um forte abraço e bons estudos.